שיעור תאוריה

ערך עתידי, ערך נוכחי וסדרות תשלומים

השפה הבסיסית שמאפשרת להשוות כסף המתקבל או משולם בתאריכים שונים.

איך מזהים שהנושא מתאים

אינטואיציה

שקל היום ושקל בעוד שנה אינם אותו מוצר כלכלי. שקל היום יכול לצבור תשואה, ולכן כדי להשוות תזרימים מעבירים את כולם לאותו תאריך. מעבר קדימה בזמן נקרא צבירה; מעבר אחורה נקרא היוון.

הריבית היא מקדם ההמרה בין תאריכים. ככל ששיעור ההיוון גבוה יותר, אותו סכום עתידי שווה פחות היום. לפני כל נוסחה מסמנים ציר זמן, ממקמים עליו את התזרימים ובוחרים תאריך הערכה אחד.

הגדרות פורמליות

PV
ערך נוכחי בתחילת תקופת ההערכה.
FV
ערך עתידי בסוף מספר התקופות.
r
שיעור הריבית לכל תקופה, בצורת מספר עשרוני.
n
מספר תקופות הצבירה או ההיוון.
PMT
תשלום קבוע בכל תקופה.
g
שיעור הצמיחה הקבוע של תשלום בסדרה צומחת.
CFₜ
תזרים המזומנים בתום תקופה t.
Σ
סכימה של כל התזרימים בטווח התקופות המצוין.

סכום יחיד

FV = PV(1+r)n PV = FV/(1+r)n

החזקה מייצגת ריבית דריבית: בכל תקופה נצברת ריבית גם על הריבית שכבר נצברה. לדוגמה, השקעה של 1,500 ש"ח לעשר שנים בריבית שנתית של 5% תצמח ל־2,443.34 ש"ח.

סדרה כללית של תזרימים

PV = Σt=1n CFₜ/(1+r)t

כל תזרים מהוון לפי מספר התקופות שבינו לבין תאריך ההערכה. רק לאחר ההיוון מותר לחבר את הסכומים.

אנונה רגילה

אנונה רגילה משלמת סכום קבוע בסוף כל תקופה.

PV = (PMT/r)[1 − 1/(1+r)n] FV = (PMT/r)[(1+r)n − 1]

באנונה המשולמת בתחילת כל תקופה, כל תשלום צובר או מהוון תקופה אחת פחות. לכן מכפילים את תוצאת האנונה הרגילה במקדם (1+r).

סדרה אינסופית

PVperpetuity = PMT/r PVgrowing = PMT₁/(r−g),   r>g

בסדרה הצומחת, PMT₁ הוא התשלום הראשון בעוד תקופה אחת והספרה התחתית מציינת את מועדו. התנאי r>g נדרש כדי שהערך הנוכחי יהיה סופי.

שיטת פתרון

  1. בנו ציר זמן. סמנו את תאריך האפס, את מועדי התשלום ואת סימני הכניסה והיציאה.
  2. אחדו יחידות. תזרים חודשי מחייב ריבית חודשית ומספר חודשים; תזרים שנתי מחייב ריבית שנתית ומספר שנים.
  3. זהו את מבנה הזרם. סכום יחיד, סדרה לא אחידה, אנונה, אנונה מראש, סדרה אינסופית או סדרה אינסופית צומחת.
  4. בחרו תאריך הערכה. היוונו או צברו כל רכיב לאותו תאריך בלבד.
  5. בדקו כיוון. בהיוון, העלאת הריבית צריכה להקטין ערך נוכחי; בהארכת אופק הצבירה, ערך עתידי חיובי צריך לגדול.

איך ממקמים תרחישים על ציר הזמן

מתחילים תמיד ממועד ההחלטה, שמסומן 0. כל מרווח על הציר הוא תקופת ריבית אחת. חץ כלפי מעלה הוא כסף שנכנס, חץ כלפי מטה הוא כסף שיוצא, והיהלום הכחול הוא מועד ההערכה שאליו מעבירים את כל התזרימים.

התרשימים סכמטיים ואינם מציגים מרחקים בקנה מידה; מספרי המועדים שמתחת לנקודות הם שקובעים כמה תקופות יש בין תזרים לתזרים.

↑ תקבול ↓ תשלום ◆ מועד הערכה

1. סכום יחיד בעתיד

הסכום קיים רק במועד 3. כדי למצוא את ערכו היום, נעים שלוש תקופות שמאלה אל מועד 0.

הנוסחה המתאימה: PV=FV/(1+r)³.

2. אנונה רגילה — תשלום בסוף כל תקופה

התשלום הראשון נמצא במועד 1, לא במועד 0. נוסחת הערך הנוכחי של אנונה רגילה מעגנת את הסדרה תקופה אחת לפני התשלום הראשון.

כלל מיקום: תשלום ראשון בעוד תקופה אחת פירושו אנונה רגילה.

3. אנונה מראש — תשלום בתחילת כל תקופה

כאן התשלום הראשון מתרחש מיד במועד 0. כל התשלומים מוקדמים בתקופה אחת לעומת אנונה רגילה, ולכן מכפילים את ערך האנונה הרגילה ב־(1+r).

כלל מיקום: המילים “מיד” או “בתחילת כל חודש” מציבות את התשלום הראשון במועד 0.

4. סדרה אינסופית דחויה

אם התקבול הראשון הוא במועד 4, נוסחת הסדרה האינסופית נותנת את השווי במועד 3 — תקופה אחת לפניו. רק אחר כך מהוונים את השווי ממועד 3 למועד 0.

העוגן: PV₃=PMT/r, ולאחר מכן PV₀=PV₃/(1+r)³.

5. שתי תקופות הפקדה

כשגובה ההפקדה משתנה, מפרידים את הציר למקטעים. מחשבים כל מקטע במועד הסיום שלו, ואז מעבירים את כל המקטעים לאותו יעד סופי.

כלל מיקום: אסור לחבר את שני המקטעים לפני ששניהם הועברו למועד 72.

דוגמת השוואה קצרה

תשלום של 6,000 ש"ח בעוד שנתיים, בריבית שנתית של 10%, שווה היום:

PV = 6,000/(1.10)2 = 4,958.68

אם חלופה אחרת דורשת 5,100 ש"ח היום, החלופה העתידית זולה יותר במונחי היום, משום שערכה הנוכחי נמוך יותר.

דוגמאות כיתה — מן הישיר אל המשולב

בדוגמאות הארוכות נשתמש בשני גורמים מקוצרים: an|r הוא גורם הערך הנוכחי של אנונה בת n תקופות בריבית r, ו־sn|r הוא גורם הערך העתידי שלה.

an|r = [1−1/(1+r)n]/r sn|r = [(1+r)n−1]/r

1. סכום יחיד כאשר הריבית משתנה לאורך הדרך

מקור: פתרון תרגיל 1 HIT, שאלה 1

אמורים לקבל 1,500 ש"ח בעוד חמש שנים. בשנתיים הראשונות הריבית היא 10% ובשלוש השנים הבאות 8%. כל קטע זמן מקבל מקדם היוון משלו:

PV = 1,500/[(1.10)2(1.08)3] = 984.09

תוצאה: הערך היום הוא 984.09 ש"ח.

2. אותה הלוואה כאנונה רגילה וכאנונה מראש

מקור: פתרון תרגיל 1 HIT, שאלה 2

הלוואה של 100,000 ש"ח מוחזרת בחמישה תשלומים שנתיים בריבית 6%. כאשר התשלום הראשון בעוד שנה, זו אנונה רגילה:

PMT = 100,000(0.06)/[1−1/(1.06)5] = 23,739.64

כאשר התשלום הראשון משולם היום, כל חמשת התשלומים מוקדמים בשנה ולכן ערכם גדול פי 1.06. כדי לשמור על אותו ערך נוכחי מחלקים את התשלום במקדם זה:

PMTdue = 23,739.64/1.06 = 22,395.89

תוצאה: 23,739.64 ש"ח בסוף כל שנה, או 22,395.89 ש"ח בתחילת כל שנה.

3. מקדמה ויתרה בתשלומים

מקור: פתרון תרגיל 1 HIT, שאלה 3

מחיר משאית הוא 250,000 ש"ח. לאחר מקדמה של 50,000 ש"ח נותר מימון של 200,000 ש"ח, המוחזר ב־30 תשלומים שנתיים שווים בריבית 12%:

PMT = 200,000(0.12)/[1−1/(1.12)30] = 24,828.73

תוצאה: התשלום השנתי הוא 24,828.73 ש"ח.

4. סדרה אינסופית שמתחילה היום

מקור: מימון מטלה 2 — פתרון, שאלה 2

זכייה מעניקה 2,000 ש"ח היום ועוד 2,000 ש"ח בסוף כל שנה לנצח. התשלום של היום אינו מהוון; יתר הסדרה היא סדרה אינסופית רגילה:

PV = 2,000 + 2,000/0.10 = 22,000

תוצאה: שווי הזכייה היום הוא 22,000 ש"ח.

5. סדרה אינסופית דחויה

מקור: מימון מטלה 2 — פתרון, שאלה 1

הכנסה של 6,000 ש"ח לשנה מתחילה בסוף השנה השביעית ונמשכת לנצח. רגע לפני התשלום הראשון, בסוף שנה 6, שווי הסדרה הוא 6,000/0.05=120,000. כעת מהוונים שש שנים למועד אפס:

PV₀ = 120,000/(1.05)6 = 89,545.85

תוצאה: הערך הנוכחי הוא 89,545.85 ש"ח.

6. בחירה בין ארבע חלופות זכייה

מקור: פתרון תרגיל 1 HIT, שאלה 4

בריבית 7% משווים את כל החלופות במועד אפס:

חלופהמבנה התזריםערך נוכחי
א14,000 ש"ח היום ובכל שנה, עשרה תשלומים105,213.25
ב100,000 ש"ח היום100,000.00
ג50,000 בעוד שנה ו־68,000 בעוד ארבע שנים98,605.85
ד140,000 בעוד חמש שנים99,818.07

תוצאה: חלופה א היא בעלת הערך הנוכחי הגבוה ביותר.

7. שתי סדרות משיכה רצופות מאותו חיסכון

מקור: פתרון תרגיל 1 HIT, שאלה 5 — חישוב מתוקן לפי ציר הזמן

לאריאל 500,000 ש"ח היום. הוא רוצה למשוך סכום חודשי קבוע במשך 72 חודשים, ולאחר מכן 2,500 ש"ח בחודשים 73–102. הריבית החודשית היא 0.75%. תחילה שומרים במועד אפס את הערך הנוכחי של הסדרה המאוחרת:

PVlate,72 = (2,500/0.0075)[1−1/(1.0075)30] PVlate,0 = PVlate,72/(1.0075)72 500,000 = X(1−1/(1.0075)72)/0.0075 + PVlate,0 X = 8,308.21

מיד לאחר המשיכה ה־40 נותרות 32 משיכות של X, ולאחריהן הסדרה המאוחרת:

B₄₀ = X·a32|0.75% + 2,500·a30|0.75%/(1.0075)32 = 288,287.03

תוצאה: המשיכה החודשית הראשונה היא 8,308.21 ש"ח; לאחר 40 משיכות נשארים 288,287.03 ש"ח.

8. הפקדות בתחילת חודש בשתי רמות

מקור: שאלות חזרה חלק 2, שאלה 1

מפקידים בתחילת כל חודש: 1,200 ש"ח במשך 60 חודשים ולאחר מכן 2,000 ש"ח במשך 12 חודשים. הסכום מתקבל בסוף חודש 72, חודש לאחר ההפקדה האחרונה.

FV = 1,200·s60|0.4%·1.004·(1.004)12 + 2,000·s12|0.4%·1.004 FV = 110,150.28

אם הריבית עולה לאחר חודש 60 מ־0.4% ל־0.6%, היתרה שנצברה בחלק הראשון צומחת 12 חודשים בריבית החדשה, וגם ההפקדות האחרונות נצברות בריבית החדשה:

FV = 1,200·s60|0.4%·1.004·(1.006)12 + 2,000·s12|0.6%·1.006 = 112,540.72

תוצאה: 110,150.28 ש"ח בריבית קבועה, או 112,540.72 ש"ח לאחר עליית הריבית.

9. משיכות ל־48 חודשים תוך שמירת עתודה לעוד עשרה חודשים

מקור: שאלות חזרה חלק 2, שאלה 2

למר כהן 120,000 ש"ח היום. הוא מושך X בסוף כל אחד מ־48 החודשים הראשונים, אך במועד 48 חייבת להישאר עתודה לעשר משיכות של 600 ש"ח בחודשים 49–58. בריבית חודשית של 0.5%:

Reserve₄₈ = 600·a10|0.5% 120,000 = X·a48|0.5% + Reserve₄₈/(1.005)48 X = 2,710.28

תוצאה: ניתן למשוך 2,710.28 ש"ח בכל אחד מ־48 החודשים הראשונים.

הערות מוכנות למבחן