חורף תשפ"ג 2023, מועד א' (35471) · שיעור פתרון

שאלה 4: גאומטריה ודמיון משולשים

הוכחת דמיון משולשים במערכת צירים, שימוש ביחס הדמיון למציאת קואורדינטות, ובדיקת חסימת מרובע במעגל.

שיעורי תאוריה רלוונטיים

נוסח השאלה

4. במשולש ישר זווית ABC (זווית ABC = 90°).
הקודקוד B מונח על ציר ה־x והקודקוד A מונח על ציר ה־y.
מן הקודקוד C העבירו אנך לציר ה־x, החותך אותו בנקודה D (ראו סרטוט).
הנקודה O היא ראשית הצירים.

א. הוכיחו: ΔAOB ∼ ΔBDC.

נתון: CDOB = 52, משוואת הצלע AB היא y = -23x + 4.

ב. (1) מצאו את אורכי הקטעים OB ו־CD.
(2) מצאו את שיעורי הנקודות D ו־C.
ג. (1) מצאו את גודל הזווית BAC.
(2) מצאו את גודל הזווית ACD.
ד. האם אפשר לחסום את המרובע ABDC במעגל? נמקו.

זיהוי השיטה

זוהי שאלת "שעטנז" המשלבת גאומטריה אוקלידית בסיסית (דמיון משולשים וזוויות ישרות) עם גאומטריה אנליטית במערכת צירים. נוכיח דמיון בעזרת השלמת זוויות ל-180° על ציר ה-x (זווית שטוחה), ולאחר מכן נשתמש ביחס הדמיון ובמשוואות הישר כדי למצוא קואורדינטות של כל הקודקודים. לבסוף, כדי לחסום מרובע במעגל נדרש שסכום זוויות נגדיות יהיה 180°.

פתרון מודרך

א הוכחת דמיון משולשים

נוסח הסעיף: הוכיחו ΔAOB ∼ ΔBDC.

הרעיון: שני המשולשים חולקים זווית ישרה; ונמצא זווית אלפא משותפת נוספת על ידי חישוב כל זוויות הפנים — ואז ז.ז. מסיים את ההוכחה.

#	טענה	נימוק
1	∠AOB = 90°	ציר ה-y וציר ה-x מאונכים זה לזה בראשית הצירים O.
2	∠BDC = 90°	נתון: CD הוא אנך לציר ה-x.
3	∠AOB = ∠BDC	שתיהן 90° (שורות 1 ו-2).
4	נסמן ∠ABO = α	הגדרת משתנה עזר.
5	∠CBD = 90° − α	O, B, D כולם על ציר ה-x → ∠OBD = 180° (זווית שטוחה). ∠ABC = 90° (נתון). לכן ∠CBD = 180° − 90° − α = 90° − α.
6	∠BCD = α	סכום זוויות ב-△BDC = 180°: ∠BCD = 180° − 90° − (90° − α) = α.
7	∠ABO = ∠BCD = α	שורות 4 ו-6.
8	ΔAOB ∼ ΔBDC	דמיון ז.ז. — שתי זוויות שוות בהתאמה: ∠AOB = ∠BDC (שורה 3) ו-∠ABO = ∠BCD (שורה 7).

תוצאת הסעיף: המשולשים דומים לפי קריטריון ז.ז. — הוכח.

ב חישוב אורכים וקואורדינטות

נוסח הסעיף: (1) מצאו את OB ו-CD. (2) מצאו את נקודות C ו-D.

חלק (1): נשתמש במשוואת הישר AB: y = -23x + 4 כדי למצוא את נקודות A ו-B.

נקודה A: על ציר ה-y, נציב x = 0. → y = 4. כלומר A(0, 4).
נקודה B: על ציר ה-x, נציב y = 0.
0 = -23x + 4 → 23x = 4 → x = 6. כלומר B(6, 0).

אורך הקטע OB הוא ה-x של נקודה B. כלומר OB = 6.
נתון כי CD/OB = 5/2. נציב את OB:

CD 6 = 2.5 → CD = 15

מציאת CD בעזרת היחס.

חלק (2): כעת נשתמש בדמיון שהוכחנו בסעיף א'. יחס הדמיון בין המשולש הגדול (BDC) לקטן (AOB) הוא k = CD / OB = 15 / 6 = 2.5.
הצלע BD במשולש הגדול מתאימה לצלע AO במשולש הקטן (מול הזווית α). אנו יודעים ש-AO = 4.

BDAO = 2.5 → BD 4 = 2.5 → BD = 10

שימוש ביחס הדמיון.

הנקודה D נמצאת ימינה מ-B על ציר ה-x, ולכן x_D = 6 + 10 = 16. לכן D(16, 0).
הנקודה C נמצאת על האנך מ-D למעלה, כלומר לאותו x. גובהה הוא כאורך CD (שהוא 15). לכן C(16, 15).

תוצאת הסעיף: (1) OB = 6, CD = 15. (2) שיעורי D(16,0), C(16,15).

ג חישוב זוויות במשולש

נוסח הסעיף: (1) מצאו את ∠BAC. (2) מצאו את ∠ACD.

חלק (1): נמצא את הזווית BAC בתוך המשולש הישר ABC. לשם כך נחשב את אורכי הניצבים AB ו-BC.

AB = √(6² + 4²) = √52

מרחק בין A(0,4) ל-B(6,0).

BC = √((16-6)² + (15-0)²) = √(10² + 15²) = √325

מרחק בין B(6,0) ל-C(16,15).

tan(∠BAC) = BCAB = √325√52 = 2.5

הגדרת טנגנס.

∠BAC = arctan(2.5) ≈ 68.2°

שימוש בפונקציה ההפוכה.

חלק (2): מציאת הזווית ∠ACD. זווית זו בנויה מחיבור של שתי זוויות: ∠ACB (בתוך משולש ABC) פלוס ∠BCD (בתוך משולש BDC).

tan(∠ACB) = ABBC = √52√325 = 0.4

במשולש ישר זווית ABC.

∠ACB = arctan(0.4) ≈ 21.80°

גודל הזווית.

tan(∠BCD) = BDCD = 1015 = 23

במשולש ישר זווית BDC. (זו הזווית α מקודם).

∠BCD = arctan(2/3) ≈ 33.69°

גודל הזווית.

∠ACD = 21.80° + 33.69° = 55.49°

חיבור שתי הזוויות יחד.

תוצאת הסעיף: (1) ∠BAC = 68.2°. (2) ∠ACD = 55.49°.

ד חסימת מרובע במעגל

נוסח הסעיף: האם אפשר לחסום את המרובע ABDC במעגל?

הרעיון: מרובע בר חסימה במעגל אם ורק אם סכום כל זוג זוויות נגדיות בו הוא 180°.

#	טענה	נימוק
1	∠BAC ≈ 68.2°	חושב בסעיף ג'.
2	∠BDC = 90°	נתון: CD הוא אנך לציר ה-x שעליו מונחת BD.
3	∠BAC + ∠BDC = 158.2°	חיבור זוויות (שורות 1–2). הזוויות A ו-D הן זוויות נגדיות במרובע ABDC.
4	לא ניתן לחסום את המרובע ABDC במעגל	מרובע הוא בר חסימה במעגל אם ורק אם סכום כל זוג זוויות נגדיות בו שווה ל-180°. כיוון שהסכום הוא 158.2°, לא ניתן לחסום אותו.

תוצאת הסעיף: אי אפשר לחסום (סכום זוויות נגדיות אינו 180°).

תשובה סופית

א. הוכח בסעיף.
ב. (1) OB = 6, CD = 15. (2) D(16,0), C(16,15).
ג. (1) 68.2° (2) 55.49°.
ד. לא, סכום הזוויות הנגדיות אינו שווה ל-180°.

המשך במבחן

חורף תשפ"ג 2023, מועד א' (35471) · שאלה 4

המשך לפי סדר השאלות במבחן.

לשאלה הבאה: שאלה 5 - גאומטריה אנליטית