שיעור תאוריה
מרובעים ודמיון משולשים
הכרת תכונות המלבן, קריטריוני חפיפה ודמיון, כתיבת הוכחה בטבלת טענה-נימוק, והקשר בין יחס הדמיון ליחס השטחים.
איך מזהים שהנושא מתאים
- השאלה מציגה שרטוט ללא מערכת צירים עם צורות הנדסיות (משולשים, מלבן, מקבילית).
- מבקשים להוכיח כי משולשים הם דומים או חופפים — כלומר, לכתוב הוכחה פורמלית.
- מבקשים לחשב צלעות או שטחים מתוך נתונים פרופורציונליים.
כתיבת הוכחה — טבלת טענה-נימוק
בבגרות, הוכחה גאומטרית נכתבת בפורמט טבלת טענה-נימוק (claim-reason table). בכל שורה יש טענה (מה שאנחנו אומרים) ולידה נימוק (למה זה נכון — משפט, הגדרה, או נתון).
תבנית — הוכחת דמיון (ז.ז.)
| # | טענה | נימוק |
|---|---|---|
| 1 | ∠ABC = ∠DEF | זוויות מתחלפות — ישרים מקבילים חתוכים ע"י ישר שלישי (צורת Z). |
| 2 | ∠BCA = ∠EFD | זוויות קודקודיות — נוצרות בחיתוך שני ישרים (צורת X). |
| 3 | ΔABC ∼ ΔDEF | דמיון ז.ז. — שתי זוויות שוות בהתאמה. |
כללים לכתיבת ההוכחה
- כל טענה חייבת להיות מלווה בנימוק. לא מספיק לכתוב רק "ידוע" — פרטו מאיפה זה ידוע.
- הנתונים מהשרטוט מצוינים כ-"נתון" בנימוק.
- כתבו את מסקנת הדמיון/חפיפה בשורה האחרונה בלבד. אל תכתבו אותה כנימוק לשורה אחרת.
- הקפידו על סדר הקודקודים: אם זווית A שווה ל-D, אז A ו-D חייבות להיות באותו מקום בסימון △ABC∼△DEF.
תכונות מרובעים חשובות
מלבן
המלבן הוא מקבילית שבה כל הזוויות ישרות (90°). מכאן נגזרות תכונות חשובות:
- הצלעות הנגדיות מקבילות ושוות באורכן.
- האלכסונים שווים זה לזה וחוצים זה את זה (אמצע כל אלכסון הוא אותה נקודה).
- כל זווית בין צלעות שכנות שווה 90°.
- תכונת ההקבלה מאפשרת למצוא זוויות מתחלפות ומתאימות בעת העברת ישר חותך.
מקבילית כללית
- צלעות נגדיות מקבילות ושוות.
- האלכסונים חוצים זה את זה (אך אינם בהכרח שווים).
- זוויות נגדיות שוות, וסכום זוויות סמוכות = 180°.
קריטריוני חפיפה ודמיון
| סוג | שם הקריטריון | תנאי מספיק | מתי משתמשים |
|---|---|---|---|
| חפיפה (≅) | צ.צ.צ | AB=DE, BC=EF, AC=DF | כשנתונים שלושת הצלעות. |
| צ.ז.צ | AB=DE, ∠B=∠E, BC=EF | כשנתונות שתי צלעות והזווית הכלואה ביניהן. | |
| ז.צ.ז | ∠A=∠D, AB=DE, ∠B=∠E | כשנתונות שתי זוויות וצלע ביניהן. | |
| צ.ז.צ ישרת זווית | יתר + ניצב שווים | רק במשולשים ישרי זווית: יתר שווה + ניצב אחד שווה. | |
| דמיון (~) | ז.ז. (הנפוץ ביותר!) | ∠A=∠D, ∠B=∠E → ΔABC ∼ ΔDEF | הדרך השכיחה ביותר בבגרות. מספיק שתי זוויות שוות. |
| צ.צ.צ (יחסים) | ABDE = BCEF = ACDF | כשנתונים שלושת היחסים שווים ואין מידע על זוויות. |
זוויות שעוזרות למצוא שוויון
| שם הזווית | מתי נוצרת | מה מסיקים |
|---|---|---|
| זוויות מתחלפות | ישרים מקבילים חתוכים ע"י ישר שלישי (צורת Z) | הזוויות שוות זו לזו. |
| זוויות מתאימות | ישרים מקבילים חתוכים ע"י ישר שלישי (צורת F) | הזוויות שוות זו לזו. |
| זוויות קודקודיות | שני ישרים נחתכים (צורת X) | הזוויות שמול הקודקוד שוות. |
| זווית משותפת | אותה זווית שייכת לשני משולשים | הזווית שווה לעצמה לפי תכונת הרפלקסיביות, ויש לציין זאת בהוכחה. |
יחס דמיון, צלעות ושטחים
| גודל | נוסחה | הסבר |
|---|---|---|
| יחס הדמיון (k) | ABDE = BCEF = ACDF = k | לאחר שהוכח דמיון, כל הצלעות המתאימות מקיימות את אותו יחס k. |
| יחס השטחים | SΔABCSΔDEF = k² | יחס השטחים = ריבוע יחס הדמיון. שים לב: לא k, אלא k²! |
דרך פתרון: מציאת דמיון משולשים
- סימון הנתונים בשרטוט: סמנו את כל מה שנתון — צלעות שוות, זוויות ישרות, ישרים מקבילים. סמנו גם זוויות שניתן להסיק מיד (כמו זוויות ישרות במלבן) במשתנה כמו α.
- זיהוי משולשים רלוונטיים: חפשו בשרטוט משולשים המכילים את הצלעות המבוקשות, או "צורת פרפר" (שני משולשים שחולקים זווית קודקודית בין-ביניהם).
- מציאת שתי זוויות שוות (לרוב ז.ז.): השתמשו בזוויות מתחלפות (מקביליות), קודקודיות (חיתוך), ומשותפות. לרוב מספיק שתי זוויות.
- כתיבת ההוכחה בטבלה: רשמו את הטענות והנימוקים בסדר לוגי. סיימו בשורת המסקנה עם שם הקריטריון.
- שימוש בדמיון: לאחר ההוכחה, רשמו את פרופורציית הצלעות בהתאם לסדר הקודקודים שהגדרתם. השתמשו בכפל בהצלבה לחישוב נעלמים.
הערות מוכנות למבחן
- סדר הקודקודים: הקפידו מאוד! אם זווית A שווה ל-D, כתבו △ABC∼△DEF — לא △ABC∼△DFE. טעות בסדר = טעות בכל יחסי הצלעות.
- יחס שטחים = k² לא k: טעות הכי נפוצה! בשאלות על שטחים — העלו את יחס הדמיון בריבוע.
- כתבו "נתון" כנימוק: כל פעם שאתם משתמשים בנתון מהשרטוט — כתבו "נתון" בנימוק. לא לוותר על שורה זו!
- זווית משותפת: אם שני משולשים חולקים אותה זווית, כתבו בטבלה "זווית משותפת" — זה נחשב לנימוק חוקי.