חורף תשפ"ג 2023, מועד א' (35471) · שיעור פתרון

שאלה 5: מעגל וישרים

הוכחת תכונות מקבילית מתוך תכונות מעגל (רדיוסים שווים, ישר מקביל לציר y), וחישוב נקודות ושטח בגאומטריה אנליטית.

שיעורי תאוריה רלוונטיים

נוסח השאלה

5. מעגל שמרכזו M משיק לציר ה־x בנקודה E.
המעגל חותך את ציר ה־y בנקודות B ו־C, כמתואר בסרטוט שלפניכם.
הנקודה A נמצאת על המשך ME, כמתואר בסרטוט.

סרטוט המעגל במערכת צירים
  1. א. (1) הסבירו מדוע MA מקביל לציר ה־y.
    (2) הוכיחו: ∠CBM = ∠BMA.

נתון: אורך הקטע AB שווה לרדיוס המעגל.

  1. ב. (1) הוכיחו: ∠CMB = ∠MBA.
    (2) הוכיחו: המרובע ABCM הוא מקבילית.

נתון: M(3, 5).

  1. ג. (1) מצאו את משוואת המעגל.
    (2) מצאו את שיעורי הנקודות B ו־C.
    (3) מצאו את שיעורי הנקודה A.
  2. ד. חשבו את שטח המקבילית ABCM.

זיהוי השיטה

השאלה מתחילה כהוכחה גאומטרית טהורה (זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים, משולשים שווי שוקיים) המבוססת על תכונות במערכת צירים, כגון השקה לציר. לאחר מכן, בחלק החישובי, אנו מקבלים את נקודת המרכז ונדרשים למצוא את משוואת המעגל. כיוון שהמעגל משיק לציר ה-x, הרדיוס ידוע לנו מיד מתוך שיעור ה-y של המרכז.

פתרון מודרך

א הקבלה וזוויות מתחלפות

נוסח הסעיף: (1) הסבירו מדוע MA מקביל לציר הי-y. (2) הוכיחו: ∠CBM = ∠BMA.

הרעיון: הרדיוס לנקודת השקה מאונך למשיק בנקודת השקה — מכאן הישר ME מקביל לציר y, והזוויות מתחלפות נוצרות מהקבלה בין MA לבין CB.

חלק (1): המעגל משיק לציר ה-x בנקודה E. רדיוס המעגל ME המאונך למשיק בנקודת השקה חייב להיות מאונך לציר ה-x — כלומר, מקביל לציר ה-y. הנקודה A נמצאת על המשך הקטע ME, ולכן כל הישר MA מקביל לציר ה-y.

חלק (2): הוכחת הזוויות המתחלפות:

#טענהנימוק
1 MA ∥ ציר y הוכח בחלק (1) לעיל.
2 CB מונח על ציר y נתון: B ו-C נמצאות על ציר ה-y.
3 MA ∥ CB MA מקביל לציר y, ו-CB מונח על ציר y — שניהם באותו כיוון (שורות 1–2).
4 ∠CBM = ∠BMA זוויות מתחלפות — ישרים מקבילים MA ו-CB, נחתכים ע"י החותך MB (צורת Z).

תוצאת הסעיף: (1) MA מקביל לציר y. (2) ∠CBM = ∠BMA — הוכח.

ב הוכחת המקבילית

נוסח הסעיף: (1) הוכיחו ∠CMB = ∠MBA. (2) הוכיחו ABCM מקבילית.

הרעיון: MB ו-MC רדיוסים שווים ו-AB = רדיוס נתון — שני משולשים שווי שוקיים; זוויות הבסיס שלהם שווות ל-α, ועם הזוויות המתחלפות אפשר להסיק שתי צלעות נוספות מקבילות.

חלק (1):

#טענהנימוק
1 ∠CBM = ∠BMA = α הוכח בסעיף א'. נקרא לזווית זו α.
2 MB = MC = R שניהם רדיוסים של אותו מעגל.
3 ∠MCB = ∠MBC = α ΔMBC שווה שוקיים (MB = MC) — זוויות בסיס שווות; זווית הבסיס בקודקוד B שווה ל-∠CBM = α.
4 ∠CMB = 180° − 2α סכום זוויות ב-ΔMBC = 180°: α + α + ∠CMB = 180°.
5 AB = MB = R נתון: אורך הקטע AB שווה לרדיוס.
6 ∠BAM = ∠AMB = α ΔABM שווה שוקיים (AB = MB) — זוויות בסיס שווות; זווית הבסיס בקודקוד A שווה ל-∠BMA = α.
7 ∠MBA = 180° − 2α סכום זוויות ב-ΔABM = 180°: α + α + ∠MBA = 180°.
8 ∠CMB = ∠MBA שתיהן 180° − 2α (שורות 4 ו-7).

חלק (2):

#טענהנימוק
1 CB ∥ MA הוכח בסעיף א'.
2 ∠CMB = ∠MBA הוכח בחלק (1).
3 CM ∥ AB זוויות מתחלפות שווות → ישרים מקבילים — החותך MB חותך את הישרים CM ו-AB, ומתקיים ∠CMB = ∠MBA.
4 ABCM היא מקבילית שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות: CB ∥ MA (שורה 1) ו-CM ∥ AB (שורה 3).

תוצאת הסעיף: (1) ∠CMB = ∠MBA — הוכח. (2) ABCM היא מקבילית — הוכח.

ג חישובי אנליטית

נוסח הסעיף: נתון M(3, 5). (1) מצאו את משוואת המעגל. (2) מצאו את B ו-C. (3) מצאו את A.

הרעיון: המעגל משיק לציר ה-x, ולכן הרדיוס שווה לשיעור ה-y של המרכז; לאחר מכן פתרון אלגברי למציאת B, C ו-A.

חלק (1): המעגל שמרכזו M(3, 5) משיק לציר ה-x בנקודה E. הרדיוס המאונך לציר ה-x שווה בדיוק לשיעור ה-y של נקודת המרכז. ולכן הרדיוס R = 5. נציב במשוואת המעגל:

(x - 3)² + (y - 5)² = 25
משוואת המעגל.

חלק (2): נקודות החיתוך B ו-C עם ציר ה-y. נציב x = 0 במשוואה שקיבלנו.

(0 - 3)² + (y - 5)² = 25
הצבת x=0.
9 + (y - 5)² = 25 → (y - 5)² = 16
פישוט המשוואה.
y - 5 = 4 → y = 9
אפשרות ראשונה (הנקודה C הגבוהה).
y - 5 = -4 → y = 1
אפשרות שנייה (הנקודה B הנמוכה).

לכן: C(0, 9) ו-B(0, 1).

חלק (3): מציאת הנקודה A באמצעות הסקה גאומטרית מתכונות המקבילית:

#טענהנימוק
1 xA = 3 הנקודה A נמצאת על הישר MA המקביל לציר ה-y (הוכח בסעיף א'), ולכן שיעור ה-x שלה שווה לזה של M.
2 CB = 9 - 1 = 8 אורך קטע על ציר ה-y שווה להפרש שיעורי ה-y של קצותיו (C ו-B).
3 MA = CB = 8 במקבילית (ABCM, הוכח בסעיף ב') צלעות נגדיות שוות זו לזו.
4 yA = 5 - 8 = -3 הנקודה A נמצאת על הישר MA אנכית מתחת ל-M (מהסרטוט ומכך ש-A על המשך ME), ולכן מחסרים את המרחק משיעור ה-y של M.

לכן: A(3, -3).

תוצאת הסעיף: (1) משוואת המעגל: (x - 3)² + (y - 5)² = 25. (2) C(0, 9), B(0, 1). (3) A(3, -3).

ד שטח המקבילית

נוסח הסעיף: חשבו את שטח המקבילית ABCM.

שטח מקבילית הוא מכפלת אורך צלע בגובה היורד אליה. הכי נוח לבחור את הצלע CB המונחת על ציר ה-y.

Base = CB = 9 - 1 = 8
אורך הבסיס.
Height = 3
המרחק האופקי מציר ה-y (היכן שנמצא הבסיס CB) עד לקודקוד M ששיעור ה-x שלו הוא 3.
S = Base · Height = 8 · 3 = 24
חישוב השטח.

תוצאת הסעיף: השטח הוא 24.

תשובה סופית

  1. א. הוכח בסעיף.
  2. ב. הוכח בסעיף.
  3. ג. (1) (x - 3)² + (y - 5)² = 25. (2) C(0, 9), B(0, 1). (3) A(3, -3).
  4. ד. 24.

המשך במבחן

חורף תשפ"ג 2023, מועד א' (35471) · שאלה 5

המשך לפי סדר השאלות במבחן.

לשאלה הבאה: שאלה 6 - חדו"א (פונקציה רציונלית)