קיץ תשפ"ג 2023, שאלון 35481 · שיעור פתרון

שאלה 5: שני משולשים ומעגל חוסם

פתרון משולשים בעזרת משפט הסינוסים והקוסינוסים, מציאת רדיוס מעגל חוסם וחישובי שטחים.

שיעורי תאוריה רלוונטיים

נוסח השאלה

מתוארים שני משולשים: ADC שכל זוויותיו חדות, ומשולש שווה שוקיים ABC שבו BC=BA. נתון ששטח ABC הוא 114 ו-∠ABC=50°.

  1. א. מצאו את AB.
  2. ב. מצאו את AC.
  3. ג. רדיוס המעגל החוסם את ADC הוא 8. מצאו את ∠ADC.
  4. ד. נתון AD=15. מצאו את ∠CAD.
  5. ה. מצאו את BD.

זיהוי השיטה

תחילה משתמשים בנוסחת שטח עם שתי צלעות והזווית שביניהן. אחר כך מפעילים את משפט הסינוסים המורחב במשולש ADC, ובסוף את משפט הקוסינוסים במשולש ABD.

פתרון מודרך

א אורך השוק AB

נוסח הסעיף: מצאו את AB.

הרעיון: שתי השוקיים שוות, ולכן בנוסחת השטח מופיע AB².

114=AB · BC · sin 50°2=AB² · sin 50°2
נוסחת שטח לפי שתי צלעות והזווית הכלואה.
AB=√(228sin 50°) ≈ 17.25
בחירת השורש החיובי כי מדובר באורך.

תוצאת הסעיף: AB ≈ 17.25.

ב הבסיס AC

נוסח הסעיף: מצאו את AC.

הרעיון: הגובה מן הקודקוד B חוצה את זווית הראש ואת הבסיס.

AC=2 · AB · sin 25° ≈ 2 · 17.252 · sin 25° ≈ 14.58
בכל אחד משני המשולשים ישרי הזווית מתקבל חצי הבסיס.

תוצאת הסעיף: AC ≈ 14.58.

ג הזווית ADC

נוסח הסעיף: רדיוס המעגל החוסם את ADC הוא 8. מצאו את זווית ADC.

הרעיון: במשפט הסינוסים המורחב AC/sin(∠ADC)=2R=16.

sin(∠ADC)=AC 16=14.58216 ⇒ ∠ADC ≈ 65.70°
נבחר הפתרון החד בהתאם לנתון שכל זוויות ADC חדות.

תוצאת הסעיף: ∠ADC ≈ 65.70°.

ד הזווית CAD

נוסח הסעיף: AD=15. מצאו את זווית CAD.

הרעיון: שוב משתמשים במשפט הסינוסים המורחב, ואז בסכום זוויות במשולש.

sin(∠ACD)=AD 16=1516 ⇒ ∠ACD ≈ 69.64°
גם כאן בוחרים זווית חדה.
∠CAD=180°-65.70°-69.64° ≈ 44.67°
סכום הזוויות במשולש.

תוצאת הסעיף: ∠CAD ≈ 44.67°.

ה אורך BD

נוסח הסעיף: מצאו את BD.

הרעיון: זוויות הבסיס במשולש השווה-שוקיים הן 65°, ולכן ∠BAD=65°+∠CAD.

∠BAD=65°+44.67°=109.67°
B ו-D נמצאים משני עברי AC בסרטוט.
BD²=AB²+AD²-2 · AB · AD · cos(∠BAD)
משפט הקוסינוסים במשולש ABD.
BD ≈ √(17.252²+15²-2 · 17.252 · 15 · cos 109.67°) ≈ 26.40
הצבה וחישוב.

תוצאת הסעיף: BD ≈ 26.40.

תשובה סופית

  1. א. 17.25.
  2. ב. 14.58.
  3. ג. 65.70°.
  4. ד. 44.67°.
  5. ה. 26.40.

המשך במבחן

קיץ תשפ"ג 2023, מועד א', שאלון 35481 (4 יח"ל) · שאלה 5

המשך לפי סדר השאלות במבחן.

לשאלה הבאה: שאלה 6 - חקירת פונקציה רציונלית