שיעור תאוריה
טריגונומטריה ומשולש החסום במעגל
שימוש בפונקציות הטריגונומטריות (סינוס, קוסינוס וטנגנס), טבלת זוויות מיוחדות, הזהות הפיתגורית, ומשפטי הסינוסים והקוסינוסים.
איך מזהים שהנושא מתאים
- השאלה מבקשת לחשב אורך צלע או גודל זווית בתוך שרטוט של משולש.
- נתון מעגל שחוסם משולש (כל קודקודיו על המעגל) או שמוזכר רדיוס R.
- נתונות זוויות במעלות.
הגישה לטריגונומטריה
הטריגונומטריה מאפשרת לקשר בין אורכי צלעות לגדלי זוויות בתוך משולש. במשולש ישר זווית הקשרים פשוטים ומתבססים על sin, cos ו-tan. אם המשולש אינו ישר זווית, משתמשים במשפט הסינוסים או הקוסינוסים. ישנו גם קשר מיוחד בין משולש למעגל החוסם אותו.
פונקציות טריגונומטריות במשולש ישר זווית
| פונקציה | הגדרה | מילת זכרון |
|---|---|---|
| sin(α) | ניצב מול αיתר | ס.מ.י — סינוס מול יתר |
| cos(α) | ניצב ליד αיתר | ק.ל.י — קוסינוס ליד יתר |
| tan(α) | ניצב מול αניצב ליד α | ט.מ.ל — טנגנס מול ליד |
טבלת זוויות מיוחדות
כדאי לשנן ערכים אלו — הם מופיעים לעתים קרובות מאוד בשאלות הבגרות:
| זווית | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 12 | √32 | 1√3 ≈ 0.577 |
| 45° | √22 | √22 | 1 |
| 60° | √32 | 12 | √3 ≈ 1.732 |
| 90° | 1 | 0 | לא מוגדר |
נוסחאות ומשפטים מרכזיים
הזהות הפיתגורית
sin²(α) + cos²(α) = 1
זהות זו נכונה לכל זווית α. שימושית מאוד כשנתון sin או cos ומבקשים למצוא את השני.
משפט הסינוסים
asin A = bsin B = csin C = 2R
a, b, c הן הצלעות שמול הזוויות A, B, C, ו-R הוא רדיוס המעגל החוסם.
משפט הקוסינוסים
c² = a² + b² − 2ab · cos C
C היא הזווית הכלואה בין a ו-b, והצלע c נמצאת מולה. שימוש: כשנתונות שתי צלעות וזווית ביניהן, ומחפשים את הצלע השלישית.
| נושא | נוסחה / תכונה | משמעות |
|---|---|---|
| משולש ישר זווית חסום במעגל | היתר = קוטר = 2R | זווית היקפית של 90° תמיד נשענת על קוטר המעגל. אם גיליתם שזווית = 90°, היתר = 2R! |
| שטח משולש | S = a · b · sin(γ)2 | שתי צלעות כפול סינוס הזווית הכלואה ביניהן, חלקי 2. במשולש ישר זווית: פשוט ניצב · ניצב2. |
שיטת פתרון
- זיהוי משולש ישר זווית: מיד זהו מיהו היתר ומי הם הניצבים. אם הוא חסום במעגל, היתר = 2R.
- בחירת הפונקציה המתאימה: לפי מה נתון ומה מחפשים בחרו sin, cos או tan. אם נתון היתר ומחפשים ניצב מול — sin. אם נתון ניצב ליד ומחפשים ניצב מול — tan.
- הצבה בזהירות: ודאו שהמחשבון מכוון ל-D (Degrees). הציבו בנוסחה וחלצו את הנעלם.
- חישוב שטח: לאחר שמצאתם את כל הצלעות הדרושות, חשבו שטח לפי הנוסחה המתאימה.
הערות מוכנות למבחן
- מחשבון על D (Degrees)! ודאו זאת תמיד לפני שמתחילים. תשובה בגלל "Rad" הוא טעות שעולה נקודות.
- "זווית 90° = יתר קוטר": אם גיליתם שזווית = 90°, הצלע מולה = 2R. זה כלי רב-עוצמה.
- הזהות הפיתגורית: sin²α + cos²α = 1 מאפשרת למצוא cos אם ידוע sin (ולהפך), בלי המחשבון. שימושית בשאלות עם ביטויים אלגבריים.
- זוויות מיוחדות: שנו את טבלת 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. בשאלות הפתוחות הן מופיעות לעתים קרובות!