קיץ תשפ"ג 2023, שאלון 35481 · שיעור פתרון

שאלה 6: הפונקציה f(x)=x+4/x²

חקירה מלאה של פונקציית מנה, מציאת אסימפטוטות, נקודות קיצון, שרטוט גרף וחישוב אינטגרל.

שיעורי תאוריה רלוונטיים

נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x)=x+4x².

  1. א. מצאו את תחום ההגדרה.
  2. ב. מצאו את נקודת החיתוך עם ציר x ודייקו 2 ספרות.
  3. ג. מצאו את נקודת הקיצון וקבעו את סוגה.
  4. ד. קבעו איזה מן הגרפים I-III מתאר את הפונקציה ונמקו.
  5. ה. חשבו את השטח המוגבל בגרף, בישרים x=1 ו-x=2 ובציר x.

זיהוי השיטה

בודקים היכן המכנה מתאפס, פותרים את משוואת החיתוך, גוזרים כדי לקבוע קיצון וצורת גרף, ולשטח משתמשים באינטגרל מסוים.

פתרון מודרך

א תחום

נוסח הסעיף: מצאו את תחום ההגדרה.

הרעיון: המכנה x² חייב להיות שונה מאפס.

תוצאת הסעיף: x≠0.

ב חיתוך עם ציר x

נוסח הסעיף: מצאו את נקודת החיתוך עם ציר x.

הרעיון: מציבים f(x)=0 וכופלים ב-x², שמותר כי x אינו אפס.

x+4x²=0 ⇒ x³+4=0
כפל ב-x².
x=-∛4 ≈ -1.59
שורש ממשי יחיד.

תוצאת הסעיף: (-1.59,0).

ג קיצון

נוסח הסעיף: מצאו את נקודת הקיצון וקבעו את סוגה.

הרעיון: מאפסים את הנגזרת ובודקים את שינוי הסימן.

f'(x)=1-8x³
נגזרת של 4x⁻².
1-8x³=0 ⇒ x³=8 ⇒ x=2
נקודה חשודה לקיצון.
f(2)=2+44=3
הנגזרת עוברת משלילית לחיובית סביב 2.

תוצאת הסעיף: מינימום ב-(2,3).

ד בחירת הגרף

נוסח הסעיף: איזה מן הגרפים I-III מתאר את f?

הרעיון: משווים תחום, התנהגות ליד x=0, חיתוך וקיצון.

כאשר x→0 משני הצדדים, האיבר 4/x² שואף ל-+∞. הענף השמאלי חוצה את ציר x, והענף הימני כולל מינימום מעל הציר.

תוצאת הסעיף: גרף III.

ה השטח

נוסח הסעיף: חשבו את השטח בין x=1, x=2, הגרף וציר x.

הרעיון: הפונקציה חיובית בקטע ולכן השטח הוא האינטגרל שלה.

S=∫12(x+4x-2)dx=[x²2-4x]12
אינטגרציה איבר-איבר.
S=(2-2)-(12-4)=72
הצבת הגבולות.

תוצאת הסעיף: S=7/2=3.5.

תשובה סופית

  1. א. x≠0.
  2. ב. (-1.59,0).
  3. ג. מינימום (2,3).
  4. ד. III.
  5. ה. 3.5.

המשך במבחן

קיץ תשפ"ג 2023, מועד א', שאלון 35481 (4 יח"ל) · שאלה 6

המשך לפי סדר השאלות במבחן.

לשאלה הבאה: שאלה 7 - חקירת פונקציית שורש