קיץ תשפ"ג 2023, שאלון 35481 · שיעור פתרון
שאלה 4: מלבן, דמיון ומעגל חוסם
הוכחת דמיון משולשים בתוך מלבן, גזירת יחס אורכים מיחס השטחים, ומציאת רדיוס מעגל חוסם למשולש ישר זווית.
שיעורי תאוריה רלוונטיים
נוסח השאלה
ABCD הוא מלבן. הנקודה E נמצאת על המשך הצלע CB מעבר ל-B, והקטע DE חותך את AB בנקודה F.
- א. הוכיחו כי ΔAFD ∼ ΔBFE.
- ב. שטח המשולש AFD גדול פי 9 משטח המשולש BFE. מצאו את היחס AF/FB.
- ג. נתון EB=8 ושטח המלבן 768. (1) מצאו את CB. (2) מצאו את רדיוס המעגל החוסם את ΔDCE.
זיהוי השיטה
הישרים המקבילים במלבן יוצרים זוויות מתחלפות, ובנקודת חיתוך הצלעות מתקבלות זוויות קודקודיות. מדמיון המשולשים עוברים מיחס שטחים ליחס אורכים (בריבוע). לבסוף, ב-△DCE יש זווית ישרה ב-C (תכונת מלבן), ולכן היתר DE הוא קוטר המעגל החוסם.
פתרון מודרך
א הוכחת הדמיון
נוסח הסעיף: הוכיחו כי ΔAFD דומה ל-ΔBFE.
הרעיון: מחפשים שתי זוויות שוות בהתאמה — אחת מהקבלת הצלעות במלבן (זוויות מתחלפות) ואחת מחיתוך הישרים (זוויות קודקודיות).
| # | טענה | נימוק |
|---|---|---|
| 1 | ∠AFD = ∠BFE | זוויות קודקודיות — הישרים AB ו-DE נחתכים בנקודה F (צורת X). |
| 2 | AD ∥ BE | AD ∥ BC (תכונת מלבן — צלעות נגדיות מקבילות), ו-BE נמצא על המשך הישר BC — לכן AD ∥ BE. |
| 3 | ∠ADF = ∠BEF | זוויות מתחלפות — ישרים מקבילים AD ∥ BE נחתכים ע"י הישר DE (צורת Z). |
| 4 | ΔAFD ∼ ΔBFE | דמיון ז.ז. — שתי זוויות שוות בהתאמה: ∠AFD = ∠BFE (שורה 1) ו-∠ADF = ∠BEF (שורה 3). |
תוצאת הסעיף: ΔAFD ∼ ΔBFE — הוכח.
ב יחס האורכים
נוסח הסעיף: שטח AFD גדול פי 9 משטח BFE. מצאו AF/FB.
הרעיון: יחס שטחי משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון — לכן יחס האורכים = שורש ריבועי מיחס השטחים.
תוצאת הסעיף: AF/FB = 3.
ג צלע המלבן ורדיוס המעגל
נוסח הסעיף: EB=8 ושטח המלבן 768. (1) מצאו CB. (2) מצאו את רדיוס המעגל החוסם את DCE.
הרעיון: יחס הדמיון k=3 קושר בין AD ל-BE. משטח המלבן מוצאים את הצלע השנייה AB. ב-△DCE יש זווית ישרה ב-C, ולכן היתר DE הוא קוטר המעגל החוסם.
נשתמש ביחס הדמיון ממשולשים שווי שוקיים ובתכונות מלבן להסקת אורכי צלעות, ולאחר מכן במשפט פיתגורס כדי למצוא את היתר, שהוא קוטר המעגל החוסם.
| # | טענה | נימוק |
|---|---|---|
| 1 | AD = 24 | יחס הדמיון הוא 3, ולכן ADBE = 3. מתוך הנתון BE=8 נקבל ש-AD=24. |
| 2 | CB = 24 | במלבן צלעות נגדיות שוות. |
| 3 | AB = 32 ⇒ DC = 32 | שטח מלבן שווה למכפלת צלעות סמוכות: AB = 768 / 24 = 32. במלבן צלעות נגדיות שוות, לכן גם DC=32. |
| 4 | CE = 32 | E נמצאת על המשך CB — חיבור קטעים: CE = CB + BE = 24 + 8. |
| 5 | ∠DCE = 90° | תכונת מלבן. זווית צמודה לזווית ישרה היא גם ישרה. |
| 6 | DE = 32√2 | משפט פיתגורס ב-ΔDCE: DE = √(32² + 32²). |
| 7 | R = 16√2 | מיתר עליו נשענת זווית היקפית ישרה הוא קוטר במעגל. לכן הרדיוס הוא חצי מאורך היתר DE. |
תוצאת הסעיף: (1) CB = 24. (2) R = 16√2.
תשובה סופית
- א. המשולשים דומים לפי ז.ז. — הוכח בטבלת הטענה-נימוק.
- ב. AF/FB = 3.
- ג. (1) CB = 24. (2) R = 16√2.
המשך במבחן
קיץ תשפ"ג 2023, מועד א', שאלון 35481 (4 יח"ל) · שאלה 4
המשך לפי סדר השאלות במבחן.
לשאלה הבאה: שאלה 5 - משולש ישר זווית ומעגל חוסם