שיעור תאוריה

הלוואות ולוחות סילוקין: קרן שווה ושפיצר

פירוק כל תשלום לריבית ולהחזר קרן, וחישוב יתרת ההלוואה בכל מועד.

איך מזהים שהנושא מתאים

מבקשים לבנות טבלה של יתרת פתיחה, ריבית, החזר קרן, תשלום ויתרת סגירה.
ההלוואה מוחזרת בתשלום קבוע או בהחזר קרן קבוע.
מבקשים יתרה לאחר מספר תשלומים או סכום לסילוק מוקדם.
נדרש להבחין בין לוח רגיל לבין לוח שפיצר.

אינטואיציה

הריבית בכל תקופה מחושבת על יתרת הקרן שעדיין לא הוחזרה. לכן חלק הריבית בתשלום יורד ככל שהיתרה מצטמצמת. ההבדל בין הלוחות הוא מה נשמר קבוע: בלוח קרן שווה נשמר החזר הקרן; בלוח שפיצר נשמר התשלום הכולל.

בכל שורה חייב להתקיים קשר חשבונאי פשוט: יתרת הסגירה היא יתרת הפתיחה בתוספת הריבית שנצברה, פחות התשלום. אותו קשר הוא גם מנגנון הבקרה של הטבלה.

הגדרות פורמליות

L: סכום ההלוואה במועד קבלתה.
r: שיעור הריבית לכל תקופת תשלום.
n: מספר התשלומים הכולל.
Bₜ: יתרת הקרן לאחר תשלום מספר t.
Iₜ: רכיב הריבית בתשלום מספר t.
Pₜ: רכיב החזר הקרן בתשלום מספר t.
PMT: התשלום הכולל התקופתי.
k: מספר התשלומים שכבר שולמו כאשר מחשבים יתרה באמצע חיי ההלוואה.

קשרי הבסיס בכל לוח

Iₜ = rBₜ₋₁ Pₜ = PMTₜ − Iₜ Bₜ = Bₜ₋₁ − Pₜ = Bₜ₋₁(1+r) − PMTₜ

לוח קרן שווה

Pₜ = L/n PMTₜ = L/n + rBₜ₋₁

החזר הקרן קבוע. מאחר שהיתרה יורדת, גם הריבית והתשלום הכולל יורדים מתקופה לתקופה.

לוח שפיצר

PMT = [Lr]/[1 − 1/(1+r)ⁿ]

התשלום הכולל קבוע. בתחילת הדרך רכיב הריבית גדול ורכיב הקרן קטן; בהמשך היחס מתהפך. למרות שינוי ההרכב, סכום שני הרכיבים נשאר שווה ל־PMT.

יתרה באמצע חיי ההלוואה

מיד לאחר תשלום מספר k, היתרה שווה לערך הנוכחי באותו מועד של n−k התשלומים שנותרו:

Bₖ = (PMT/r)[1 − 1/(1+r)^n−k]

שיטת פתרון

התאימו את הריבית לתדירות התשלום וקבעו את מספר התקופות.
זהו מה קבוע: החזר הקרן או התשלום הכולל.
חשבו תחילה את הריבית על יתרת הפתיחה, אחר כך את רכיב הקרן, ולבסוף את יתרת הסגירה.
העבירו את יתרת הסגירה של שורה אחת ליתרת הפתיחה של השורה הבאה.
בדקו שבשורה האחרונה היתרה מתאפסת, למעט הפרש עיגול זעיר.

דוגמה: הלוואה של 5,000 ש"ח לחמש שנים בריבית 10%

בלוח קרן שווה מוחזרים 1,000 ש"ח קרן בכל שנה. התשלום הראשון הוא 1,500 ש"ח, ואילו האחרון הוא 1,100 ש"ח.

שנה	יתרת פתיחה	ריבית	החזר קרן	תשלום	יתרת סגירה
1	5,000	500	1,000	1,500	4,000
5	1,000	100	1,000	1,100	0

בלוח שפיצר התשלום הקבוע הוא:

PMT = [5,000(0.10)]/[1−1/(1.10)⁵] = 1,318.99

בשנה הראשונה הריבית היא 500 ש"ח ולכן החזר הקרן הוא 818.99 ש"ח. יתרת הסגירה היא 4,181.01 ש"ח.

דוגמאות כיתה — מן הישיר אל המשולב

1. לוח קרן שווה ופירעון לאחר שנה

מקור: מטלה 4 מימון, שאלה 2

הלוואה של 100,000 ש"ח מוחזרת ב־60 תשלומים חודשיים לפי לוח קרן שווה, בריבית חודשית 1%. רכיב הקרן בכל חודש קבוע:

Principal = 100,000/60 = 1,666.67 PMT₁ = 1,666.67 + 0.01(100,000) = 2,666.67

לאחר 12 תשלומים הוחזרו 20,000 ש"ח מן הקרן, ולכן היתרה היא 80,000 ש"ח. התשלום ה־13 כולל ריבית על יתרה זו:

PMT₁₃ = 1,666.67 + 0.01(80,000) = 2,466.67

תוצאה: התשלום הראשון 2,666.67 ש"ח; היתרה לאחר שנה 80,000 ש"ח; התשלום ה־13 הוא 2,466.67 ש"ח.

2. פירוק התשלום ה־20 בלוח שפיצר

מקור: מטלה 4 מימון, שאלה 1

הלוואה של 60,000 ש"ח לחמש שנים מוחזרת ב־60 תשלומי שפיצר חודשיים בריבית 1%. תחילה מוצאים את התשלום הקבוע:

PMT = 60,000(0.01)/[1−1/(1.01)⁶⁰] = 1,334.67

מיד לאחר התשלום ה־19 נותרו 41 תשלומים. לכן יתרת הקרן היא הערך הנוכחי של אותם תשלומים:

B₁₉ = (1,334.67/0.01)[1−1/(1.01)⁴¹] = 44,710.93 I₂₀ = 0.01(44,710.93) = 447.11 P₂₀ = 1,334.67−447.11 = 887.56

תוצאה: בתשלום ה־20 רכיב הריבית הוא 447.11 ש"ח ורכיב הקרן 887.56 ש"ח.

הערות מוכנות למבחן

ריבית מחושבת על יתרת הפתיחה, לא על סכום ההלוואה המקורי בכל תקופה.
בלוח שפיצר התשלום קבוע, אך רכיבי הקרן והריבית אינם קבועים.
לחישוב יתרה יש לציין אם המועד הוא לפני תשלום או מיד אחריו.
עגלו את התשלום רק לצורך הצגה; המשיכו את הטבלה בדיוק פנימי גבוה כדי שהיתרה תיסגר.

שאלות מבחן קשורות