חורף תשפ"ג 2023, מועד א' (35471) · שיעור פתרון

שאלה 1: סדרה הנדסית

שימוש בנוסחאות סדרה חשבונית, פתרון מערכת משוואות למציאת האיבר הראשון וההפרש, וחישוב סכום.

שיעורי תאוריה רלוונטיים

נוסח השאלה

1. יוסי רץ במסלול מסוים. בדקה הראשונה הוא רץ 75 מטרים.
בכל דקה, החל מן הדקה השנייה, הוא רץ מרחק הגדול פי 1.02 מן המרחק שרץ בדקה שקדמה לה.

בתשובותיכם על הסעיפים שלפניכם דייקו שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

  1. א. (1) מהו המרחק שרץ יוסי במשך הדקה הרביעית?
    (2) מהו המרחק הכולל שרץ יוסי במשך ארבע הדקות הראשונות של הריצה?
  2. ב. כתבו נוסחה לחישוב המרחק הכולל שרץ יוסי במשך n הדקות הראשונות של הריצה.
  3. ג. יוסי רוצה לרוץ 2,500 מטרים סך הכול, אך לרשותו עומדות 25 דקות בלבד לעשות זאת. הסבירו מדוע לא יצליח יוסי לעבור 2,500 מטרים ב־25 דקות.
  4. ד. דני רץ באותו המסלול. בדקה הראשונה הוא רץ מרחק מסוים.
    גם הוא רץ בכל דקה, החל מן הדקה השנייה, מרחק הגדול פי 1.02 מן המרחק שרץ בדקה שקדמה לה.
    חשבו מהו המרחק הקצר ביותר שעליו לרוץ בדקה הראשונה כדי לעבור מרחק של 2,500 מטרים ב־25 דקות.

זיהוי השיטה

השאלה מתארת מצב שבו המרחק גדל פי מספר קבוע (1.02) בכל דקה. זהו המאפיין הקלאסי של סדרה הנדסית. כל דקה מהווה איבר בסדרה, והמרחק שעבר בדקה הראשונה הוא האיבר הראשון. נשתמש בנוסחת האיבר הכללי למרחק בדקה מסוימת, ובנוסחת הסכום למרחק המצטבר.

פתרון מודרך

א מרחק ומרחק מצטבר בארבע הדקות הראשונות

נוסח הסעיף: (1) מהו המרחק שרץ במשך הדקה הרביעית? (2) מהו המרחק הכולל במשך 4 הדקות?

הרעיון: המרחק בדקה ספציפית מחושב כאיבר כללי בסדרה ההנדסית, והמרחק המצטבר הוא סכום הסדרה ההנדסית.

נתוני הסדרה של יוסי

a175 (המרחק בדקה הראשונה).

q1.02 (פי כמה המרחק גדל בכל דקה).

חלק (1): הדקה הרביעית. זהו בעצם האיבר הרביעי בסדרה, נחשב אותו בעזרת הנוסחה an = a1 · qn-1.

a4 = 75 · 1.023
הצבת הנתונים עבור איבר רביעי.
a4 = 75 · 1.061208 = 79.5906
חישוב.

נדרוש דיוק של שתי ספרות כפי שהתבקש בשאלה: 79.59 מטרים.

חלק (2): הסכום הכולל. זהו סכום 4 האיברים הראשונים. נשתמש בנוסחת הסכום Sn = a1(qn - 1)q - 1.

S4 = 75(1.024 - 1)1.02 - 1
הצבה בנוסחת הסכום.
S4 = 75(1.082432 - 1)0.02 = 75 · 0.0824320.02
חישוב חלקי פנים הסוגריים והמכנה.
S4 = 6.18240.02 = 309.12
התוצאה הסופית המדויקת.

תוצאת הסעיף: (1) בדקה הרביעית הוא רץ 79.59 מטרים. (2) סך הכל ב-4 הדקות הוא רץ 309.12 מטרים.

ב נוסחת סכום כללית

נוסח הסעיף: כתבו נוסחה לחישוב המרחק הכולל שרץ יוסי במשך n דקות.

הרעיון: מציבים את הנתונים הידועים של האיבר הראשון והמנה בנוסחת הסכום ומפשטים כדי לקבל ביטוי התלוי ב-n בלבד.

נציב בנוסחת הסכום את הנתונים הידועים (a1 = 75, q = 1.02) ונשאיר את n כמשתנה חופשי.

Sn = 75(1.02n - 1)1.02 - 1
הצבה בנוסחת הסכום הכללית.
Sn = 75(1.02n - 1)0.02
חישוב המכנה.
Sn = 3750 · (1.02n - 1)
פישוט 75 ÷ 0.02 = 3750.

תוצאת הסעיף: הנוסחה היא Sn = 3750(1.02n - 1).

ג מרחק ב-25 דקות

נוסח הסעיף: הסבירו מדוע לא יצליח יוסי לעבור 2,500 מטרים ב־25 דקות.

הרעיון: מציבים n=25 בנוסחה שנבנתה בסעיף הקודם ובודקים האם התוצאה קטנה מהמטרה.

נציב n = 25 בנוסחה שמצאנו כדי לגלות כמה יעבור ב-25 דקות, ונבדוק אם זה מגיע ל-2500.

S25 = 3750 · (1.0225 - 1)
הצבת n=25 בנוסחה מהסעיף הקודם.
S25 = 3750 · (1.6406 - 1) = 3750 · 0.6406
חישוב החזקה.
S25 ≈ 2402.27
המרחק הכולל שעבר ב-25 דקות.

תוצאת הסעיף: מכיוון שהמרחק המצטבר ב-25 דקות הוא רק כ-2402.27 מטרים, שהוא קטן מ-2500 מטרים, יוסי לא יצליח לעמוד במטרה.

ד ריצת דני

נוסח הסעיף: מהו המרחק הקצר ביותר שעליו לרוץ בדקה הראשונה כדי לעבור 2,500 מטרים ב־25 דקות?

הרעיון: בונים אי-שוויון בו סכום הסדרה עבור 25 דקות עם מנה נתונה גדול או שווה ל-2500, ומחלצים את האיבר הראשון הדרוש.

הפעם, המרחק בדקה הראשונה לא ידוע, נסמנו כ-b1. ה-q נשאר 1.02. נדרוש שהסכום ב-25 דקות יהיה גדול או שווה ל-2500.

S25 = b1(1.0225 - 1)0.02 ≥ 2500
הדרישה למרחק של לפחות 2500.
b1 · 1.640605 - 10.02 ≥ 2500
חישוב החזקה (רצוי לשמור את כל הספרות במחשבון לשלב זה).
b1 · 32.0303 ≥ 2500
השבר הוא השארית של הנוסחה.
b1 ≥ 250032.0303
בידוד המשתנה.
b1 ≥ 78.051
תוצאת החילוק.

תוצאת הסעיף: המרחק המינימלי בדקה הראשונה הוא 78.05 מטרים.

תשובה סופית

  1. א. (1) 79.59 מטרים. (2) 309.12 מטרים.
  2. ב. Sn = 3750(1.02n - 1)
  3. ג. הוא עובר כ-2402.27 מטרים, וזה פחות מ-2500.
  4. ד. 78.05 מטרים.

המשך במבחן

חורף תשפ"ג 2023, מועד א' (35471) · שאלה 1

המשך לפי סדר השאלות במבחן.

לשאלה הבאה: שאלה 2 - התפלגות נורמלית