חורף תשפ"ג 2023, מועד א' (35471) · שיעור פתרון

שאלה 2: התפלגות נורמלית

עבודה עם עקומת ההתפלגות הנורמלית, חישוב אחוזונים לפי סטיית תקן ופתרון שאלות הסתברות.

שיעורי תאוריה רלוונטיים

נוסח השאלה

2. במטע דובדבנים גדול בדקו כמה קילוגרם דובדבנים מניב כל עץ בשנה רגילה.
המשקל הממוצע של הדובדבנים שמניב עץ במטע הוא 40 ק"ג.
ההתפלגות של משקל הדובדבנים שמניב כל אחד מן העצים במטע היא נורמלית.

  1. א. מהו החציון של משקל הדובדבנים שמניב עץ במטע?

נתון: אחוז העצים במטע שמניבים פחות מ־30 ק"ג דובדבנים בשנה הוא 18.1%.

  1. ב. מהי סטיית התקן?
    בתשובתכם דייקו שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

במטע יש 300 עצי דובדבן.
בעבור העצים במטע שמניבים יותר מ־55 ק"ג דובדבנים מתבצע סבב קטיף נוסף.

  1. ג. בעבור כמה עצים במטע (בקירוב) מתבצע סבב קטיף נוסף?
  2. ד. בשנה מסוימת ירד הממוצע של משקל הדובדבנים שהניבו העצים במטע ב־20% לעומת שנה רגילה, וסטיית התקן לא השתנתה.
    כמה עצים במטע (בקירוב) הניבו יותר מ־55 ק"ג דובדבנים בשנה זו?

זיהוי השיטה

השאלה עוסקת במובהק בהתפלגות נורמלית. במקום להשתמש בגרף הקירובים, כאשר אנו נתקלים באחוז מדויק כמו 18.1% שאינו נמצא על הגבולות המוכרים (16%, 31%), אנו צריכים לעבוד עם ציון התקן (Z) וטבלת ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית. נשתמש בנוסחה Z = (x - x̄) / S למציאת משתנים חסרים.

פתרון מודרך

א מציאת החציון

נוסח הסעיף: מהו החציון של משקל הדובדבנים שמניב עץ במטע?

הרעיון: תכונת היסוד של התפלגות נורמלית (הפעמון הסימטרי) היא שהממוצע, החציון והשכיח תמיד שווים זה לזה.

מכיוון שנתון לנו כי המשקל הממוצע הוא 40 ק"ג, הרי שגם החציון הוא בדיוק אותו הערך. 50% מהעצים מניבים מעל 40 ק"ג, ו-50% מניבים מתחתיו.

תוצאת הסעיף: החציון הוא 40 ק"ג.

ב מציאת סטיית התקן (S)

נוסח הסעיף: נתון: 18.1% מניבים פחות מ-30 ק"ג. מהי סטיית התקן?

הרעיון: נשתמש בטבלת ה-Z. מכיוון שמדובר על אחוז קטן מ-50% (18.1%), הערך נמצא משמאל לממוצע, ולכן ציון ה-Z יהיה שלילי. בטבלה עצמה מופיעים רק ערכים חיוביים (אחוזים מעל 50%), ולכן נחפש את המשלים שלו ל-100%.

18.1% הם 0.181 כשבר עשרוני. השטח המשלים (מימין לממוצע) הוא:

1 - 0.181 = 0.819
השטח המשלים בטבלת Z.

נחפש בטבלת ההתפלגות הנורמלית את השטח 0.819. נגלה שהוא מתקבל בציון תקן Z = 0.91 (ויש הנוהגים לקחת ערך מעט מדויק יותר לפי הטבלה, נניח 0.912, אך בשאלון זה מסתמכים על Z = -0.91 כי מדובר בשטח משמאל, שקטן מהממוצע). נציב בנוסחת ציון התקן:

Z = x - x̄S
הנוסחה הכללית.
-0.9115 = 30 - 40S
הצבת ה-Z שמצאנו (עם מינוס!), הנתון 30 והממוצע 40.
-0.9115 · S = -10
כפל ב-S.
S = -10-0.9115 ≈ 10.97
חלוקה לקבלת סטיית התקן (מעוגלת ל-2 ספרות כנדרש).

תוצאת הסעיף: סטיית התקן היא כ-10.97 ק"ג.

ג סבב קטיף נוסף (>55 ק"ג)

נוסח הסעיף: בעבור כמה עצים מתוך ה-300 מתבצע סבב קטיף נוסף (יותר מ-55 ק"ג)?

הרעיון: נמצא מהו ציון ה-Z של המשקל 55. לאחר מכן נאתר את ההסתברות לאחוזון זה בטבלה, ונחשב כמה זה מתוך 300 העצים.

Z = 55 - 4010.97 = 1510.97 ≈ 1.367
חישוב Z למשקל 55. נעגל ל-1.37 עבור הטבלה.

נחפש בטבלת Z את השטח שמתחת ל-Z = 1.37. השטח הוא בערך 0.9147 (כ-91.47%). אבל אנחנו מחפשים את העצים שמניבים יותר מ-55 ק"ג (כלומר, השטח שמימין).

P(x > 55) = 1 - 0.9147 = 0.0853
השטח שמימין לציון.
0.0853 · 300 = 25.59 ≈ 26
כפל במספר העצים הכללי. כיוון שלא ייתכן שבר של עץ, נעגל לשלם.

תוצאת הסעיף: סבב קטיף נוסף יתבצע עבור 26 עצים.

ד שינוי בממוצע

נוסח הסעיף: בשנה מסוימת הממוצע ירד ב-20%. כמה עצים הניבו יותר מ-55 ק"ג כעת?

הרעיון: הממוצע החדש נמוך יותר, סטיית התקן ללא שינוי (10.97). לכן ציון ה-Z של הערך 55 יגדל משמעותית, ובהתאמה כמות העצים שיעברו אותו תפחת דרסטית.

x̄new = 40 · 0.8 = 32
ירידה של 20% משמעה להכפיל ב-0.8 (או לחסר 8).
Znew = 55 - 3210.97 = 2310.97 ≈ 2.096
חישוב Z חדש. נעגל ל-Z = 2.1 בטבלה.

נחפש בטבלת Z את השטח שמתחת ל-Z = 2.10. השטח הוא 0.9821. ושוב, אנו מחפשים את השטח מימין ל-Z.

P(x > 55) = 1 - 0.9821 = 0.0179
השטח שמימין לציון החדש. זהו אחוז קטן מאוד!
0.0179 · 300 = 5.37 ≈ 5
כפל במספר העצים הכללי.

תוצאת הסעיף: בשנה זו הניבו יותר מ-55 ק"ג רק כ-5 עצים.

תשובה סופית

  1. א. החציון הוא 40 ק"ג.
  2. ב. 10.97 ק"ג.
  3. ג. 26 עצים.
  4. ד. 5 עצים.

המשך במבחן

חורף תשפ"ג 2023, מועד א' (35471) · שאלה 2

המשך לפי סדר השאלות במבחן.

לשאלה הבאה: שאלה 3 - הסתברות