קיץ תשפ"ג 2023, שאלון 35481 · שיעור פתרון

שאלה 3: צמחונות, טבעונות וכלי אכילה

פתרון שאלת הסתברות עם הוצאה ללא החזרה, שימוש בנוסחת ברנולי ובהסתברות מותנית.

שיעורי תאוריה רלוונטיים

הסתברות, איחוד והסתברות מותנית

נוסח השאלה

בכפר מסוים בסין חלק מן התושבים צמחונים וכל השאר טבעונים. ההסתברות שתושב הוא צמחוני גדולה ב-0.4 מן ההסתברות שהוא טבעוני. 75% מתושבי הכפר אוכלים במקלות אכילה בלבד, והשאר אוכלים רק בסכין ומזלג. 60% מן התושבים שאוכלים בסכין ומזלג הם צמחונים. בוחרים תושב באקראי.

א. מה ההסתברות שהתושב הוא צמחוני שאוכל במקלות אכילה?
ב. (1) מה ההסתברות שהתושב צמחוני או אוכל במקלות? (2) ידוע שהוא צמחוני או אוכל במקלות. מה ההסתברות שהוא צמחוני שאוכל במקלות?
ג. בכפר 60 תושבים. בוחרים שניים ללא החזרה. מה ההסתברות ששניהם צמחונים שאוכלים במקלות? דייקו 3 ספרות או רשמו שבר פשוט.

זיהוי השיטה

בונים טבלת שכיחויות יחסיות לשתי התכונות. אחר כך משתמשים בכלל האיחוד, בהסתברות מותנית, ובסעיף האחרון מעבירים את ההסתברות למספר תושבים ובוחרים ללא החזרה.

פתרון מודרך

נתונים מסודרים

P(צמחוני)0.7, כי שתי הקבוצות משלימות וההפרש ביניהן 0.4.

P(טבעוני)0.3.

P(מקלות)0.75; לכן P(סכין ומזלג)=0.25.

א צמחוני שאוכל במקלות

נוסח הסעיף: מה ההסתברות שהתושב הוא צמחוני שאוכל במקלות?

הרעיון: תחילה מוצאים את הצמחונים שאוכלים בסכין ומזלג, ואז מחסרים מכלל הצמחונים.

P(צמחוני ∩ סכין) = 0.25 · 0.60 = 0.15

60% מתוך קבוצת אוכלי הסכין והמזלג.

P(צמחוני ∩ מקלות) = 0.70 - 0.15 = 0.55

שתי דרכי האכילה זרות ומשלימות.

תוצאת הסעיף: 0.55.

ב איחוד והסתברות מותנית

נוסח הסעיף: (1) צמחוני או אוכל במקלות. (2) בהינתן האיחוד הזה, מה ההסתברות שהוא גם צמחוני וגם אוכל במקלות?

הרעיון: באיחוד מחסרים את החיתוך כדי לא לספור אותו פעמיים; בהסתברות מותנית מחלקים את החיתוך בקבוצת התנאי.

P(צמחוני ∪ מקלות) = 0.70 + 0.75 - 0.55 = 0.90

כלל האיחוד.

P(צמחוני ∩ מקלות | צמחוני ∪ מקלות) = 0.550.90 = 1118

החיתוך כולו נמצא בתוך קבוצת התנאי.

תוצאת הסעיף: (1) 0.90. (2) 11/18.

ג שתי בחירות ללא החזרה

נוסח הסעיף: מתוך 60 תושבים בוחרים שניים ללא החזרה. מה ההסתברות ששניהם צמחונים שאוכלים במקלות?

הרעיון: 55% מתוך 60 הם 33 תושבים. לאחר הבחירה הראשונה נשארים 32 מתאימים מתוך 59.

60 · 0.55 = 33

מספר התושבים המתאימים.

P = 3360 · 3259 = 88295 ≈ 0.298

ללא החזרה: גם המונה וגם המכנה קטנים באחד.

תוצאת הסעיף: 88/295 ≈ 0.298.

תשובה סופית

א. 0.55.
ב. (1) 0.90. (2) 11/18.
ג. 88/295 ≈ 0.298.

המשך במבחן

קיץ תשפ"ג 2023, מועד א', שאלון 35481 (4 יח"ל) · שאלה 3

המשך לפי סדר השאלות במבחן.

לשאלה הבאה: שאלה 4 - הוכחות במלבן