חורף תשפ"ג 2023, מועד א' (35471) · שיעור פתרון

שאלה 7: חקירת פונקציית שורש

חקירה של פונקציה רדיקלית, מציאת תחומי הגדרה ונגזרות, שרטוט הגרף, ושימוש באינטגרלים מורכבים.

שיעורי תאוריה רלוונטיים

נוסח השאלה

7. נתונה הפונקצייה f(x) = x² · √(4x + 20).

  1. א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).
  2. ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים.
  3. ג. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.
  4. ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה g(x) = f(x) + c. c הוא פרמטר.
נתון כי הישר y = 12 משיק לגרף הפונקצייה g(x).

  1. ה. מצאו את c (ציינו את שתי האפשרויות).

זיהוי השיטה

זוהי חקירת פונקציית שורש קלאסית. חשוב לזכור שנקודת הקצה של תחום ההגדרה מהווה גם היא נקודת קיצון (קיצון קצה). בגזירה, נשתמש בכלל המכפלה ובכלל השרשרת (עבור השורש), ונקפיד על מכנה משותף מסודר כדי למצוא את המונה ביתר קלות. בסעיף האחרון מתוארת הזזה אנכית של הפונקציה. ישר אופקי (y=12) שמשיק לפונקציה חייב להשיק לה באחת מנקודות הקיצון המקומיות שלה (היכן שהנגזרת מתאפסת), ולכן נשווה את שיעורי ה-y של נקודות הקיצון ל-12.

פתרון מודרך

א תחום הגדרה

נוסח הסעיף: מצאו את תחום ההגדרה.

הביטוי בתוך השורש חייב להיות אי-שלילי:

4x + 20 ≥ 0
תנאי לשורש הריבועי.
4x ≥ -20 → x ≥ -5
העברת אגפים וחלוקה ב-4.

תוצאת הסעיף: התחום הוא x ≥ -5.

ב נקודות חיתוך עם הצירים

נוסח הסעיף: מצאו נקודות חיתוך עם הצירים.

חיתוך עם ציר ה-y (נציב x=0):

f(0) = 0² · √(0 + 20) = 0
כל דבר כפול אפס הוא אפס. הנקודה: (0, 0).

חיתוך עם ציר ה-x (נציב y=0):

x² · √(4x + 20) = 0
מכפלה שווה לאפס כאשר אחד הגורמים אפס.

או ש- x² = 0 → x = 0, או ש- √(4x + 20) = 0 → 4x + 20 = 0 → x = -5.

תוצאת הסעיף: הנקודות הן (0, 0) ו- (-5, 0).

ג נקודות קיצון

נוסח הסעיף: מצאו נקודות קיצון וסוגן.

נגזור את הפונקציה לפי כלל המכפלה (u · v)' = u'v + uv'.

u = x², u' = 2x
הגורם הראשון ונגזרתו.
v = √(4x + 20), v' = 42√(4x + 20) = 2√(4x + 20)
הגורם השני ונגזרתו (עם כלל השרשרת).
f'(x) = 2x√(4x + 20) + 2x²√(4x + 20)
הצבה בכלל המכפלה.
f'(x) = 2x(4x + 20) + 2x²√(4x + 20)
מכנה משותף לשני החלקים.
f'(x) = 8x² + 40x + 2x²√(4x + 20) = 10x² + 40x√(4x + 20)
פתיחת סוגריים וכינוס איברים.

נשווה את המונה לאפס כדי למצוא נקודות קיצון פנימיות:

10x² + 40x = 0 → 10x(x + 4) = 0
הוצאת גורם משותף 10x.

הפתרונות הם x = 0 ו-x = -4. שניהם בתחום ההגדרה. בנוסף, יש לנו את נקודת הקצה ב-x = -5.

נמצא את ערכי ה-y:

  • עבור x = 0: מצאנו כבר y = 0. (הנקודה 0,0)
  • עבור x = -4: f(-4) = (-4)² · √(4(-4) + 20) = 16 · √(-16 + 20) = 16 · √4 = 16 · 2 = 32. (הנקודה -4,32)
  • עבור x = -5: הקצה נותן שורש אפס, לכן y = 0. (הנקודה -5,0)

טבלת עלייה וירידה (נבדוק סימן של המונה 10x(x+4), כיוון שהמכנה תמיד חיובי):

x -5 -5 < x < -4 -4 -4 < x < 0 0 x > 0
f'(x) | +
(למשל x=-4.5)		 0 -
(למשל x=-1)		 0 +
(למשל x=1)
מגמה min קצה ↗ עולה max ↘ יורדת min ↗ עולה

מכאן נקבע את סוג הנקודות:
הקצה ב-(-5) מתחיל עלייה ולכן הוא מינימום. ב-(-4) מעבר מעלייה לירידה - מקסימום. ב-(0) מעבר מירידה לעלייה - מינימום.

תוצאת הסעיף: מינימום (0, 0), מקסימום (-4, 32), מינימום קצה (-5, 0).

ה מציאת הפרמטר c בהזזה

נוסח הסעיף: נתון כי y=12 משיק לגרף g(x)=f(x)+c. מצאו את שתי האפשרויות ל-c.

הרעיון: משיק אופקי (בעל שיפוע 0) משיק לפונקציה בדיוק בנקודות הקיצון שלה (בהן הנגזרת שווה לאפס). הפונקציה g(x) היא בעצם הפונקציה f(x) כשהיא מוזזת אנכית למעלה או למטה. כדי שהישר y=12 ישיק אליה, עלינו להזיז את נקודות הקיצון של f כך ששיעור ה-y שלהן יהיה 12.

לפונקציה f(x) יש שתי נקודות קיצון מקומיות בעלות משיק אופקי (הקצה הוא לא משיק רגיל):

  1. המקסימום: ה-y הוא 32. נדרוש שאחרי ההזזה הוא יהיה 12.
    32 + c = 12 → c = -20.
  2. המינימום: ה-y הוא 0. נדרוש שאחרי ההזזה הוא יהיה 12.
    0 + c = 12 → c = 12.

תוצאת הסעיף: האפשרויות הן c = 12 או c = -20.

תשובה סופית

  1. א. x ≥ -5.
  2. ב. (-5, 0), (0, 0).
  3. ג. מקסימום (-4, 32). מינימום פנימי (0, 0). מינימום קצה (-5, 0).
  4. ד. (סרטוט במחברת לפי הנקודות).
  5. ה. c = 12 או c = -20.

המשך במבחן

חורף תשפ"ג 2023, מועד א' (35471) · שאלה 7

המשך לפי סדר השאלות במבחן.

לשאלה הבאה: שאלה 8 - קשר בין פונקציה לנגזרת