שיעור תאוריה
חקירת פונקציית שורש
השלבים הייחודיים בחקירת פונקציה עם שורש, בדגש על תחום ההגדרה, נקודות קיצון בקצה התחום, וגזירה של שורש.
איך מזהים שהנושא מתאים
- הפונקציה הנתונה מכילה סימן של שורש ריבועי (√).
- מבקשים לחקור את הפונקציה (למצוא נקודות קיצון, תחומי הגדרה, שרטוט גרף).
אינטואיציה: למה שורש הוא שונה?
לשורש ריבועי יש מגבלה עקרונית: אי אפשר להוציא שורש ממספר שלילי (במספרים ממשיים). לכן, בניגוד לפולינום שמוגדר לכל x, לפונקציית שורש יש בדרך כלל גבולות — "קירות" שמעבר אליהם הפונקציה פשוט לא קיימת. הנקודות שבהן הפונקציה מתחילה או נגמרת הופכות לנקודות מיוחדות מסוג "קיצון קצה".
שלבי החקירה
| שלב | מה מחשבים? | איך מבצעים? |
|---|---|---|
| תחום הגדרה | מציאת ה-x המותרים | דורשים: ביטוי בתוך השורש ≥ 0 |
| נקודות קצה | הגבול של תחום ההגדרה | ה-x שמאפס את הביטוי בתוך השורש עשוי להיות קצה תחום. מציבים אותו בפונקציה ובודקים את ההתנהגות מן הצד שבו הפונקציה מוגדרת; רק אז מסווגים קיצון קצה. |
| נקודות חיתוך | מפגש עם הצירים | חיתוך עם x (y=0), חיתוך עם y (x=0). לא לשכוח לוודא שנקודות החיתוך נמצאות בתחום ההגדרה! |
| נגזרת | גזירת הפונקציה |
כלל השרשר: (√x)' = 12√x כלל השרשר עם כלל השרשרת: (√f(x))' = f'(x)2√f(x) הנוסחאה הפנימית (f'(x)) מופיעה במונה! |
| נקודות קיצון פנימיות | קיצון בתוך התחום | משווים נגזרת לאפס, ומוצאים x. מציבים בטבלת סימנים יחד עם נקודות הקצה. |
טבלת סימנים ונקודות קצה
- שרטטו טבלה. הציבו בה את נקודות הקצה ואת ה-x שאיפסו את הנגזרת.
- חסמו את האזור שבו הפונקציה אינה מוגדרת (למשל בעזרת קווים מלוכסנים), שם לא מחשבים כלום.
- בחרו מספר ביניים, הציבו בנגזרת ובדקו סימן (+ לעלייה, - לירידה).
- סיווג הקצה: אם ליד קצה שמאלי יש ירידה, הקצה הוא מקסימום. אם יש עלייה, הקצה הוא מינימום. סיווג הפוך חל על קצה ימני.
הערות מוכנות למבחן
- הנגזרת אינה מוגדרת בקצות: הנגזרת של שורש נכתבת למכנה, לכן כשהביטוי בתוך השורש = 0 הנגזרת אינה מוגדרת (מכנה = 0). זו הסיבה שהפונקציה קיימת בקצה, אבל נגזרתה לא.
- יתרון אלגברי: כשיש כפל של x בשורש, כדאי לכפול במשותף ולנסח לשבר אחד. אז משווים רק את המונה לאפס (כמו בפונקציה רציונלית).