שיעור תאוריה

NPV, IRR והשוואת פרויקטים

כללי החלטה לפרויקט יחיד, לתזרימים חריגים ולפרויקטים תחליפיים.

איך מזהים שהנושא מתאים

מבקשים אם לקבל או לדחות פרויקט לפי תזרים מזומנים ושיעור תשואה חלופי.
מבקשים לחשב ערך נוכחי נקי או שיעור תשואה פנימי.
יש לבחור בין פרויקטים תחליפיים, או שהדירוג לפי NPV שונה מן הדירוג לפי IRR.
סימני התזרים משתנים יותר מפעם אחת או שהתקבול מגיע לפני ההשקעה.
נבחנת החלפה או הרחבה של פרויקט קיים ויש לנתח את ההפרש בין החלופות.

אינטואיציה

NPV מודד כמה ערך כספי הפרויקט מוסיף היום לאחר שהמשקיעים קיבלו את התשואה החלופית הנדרשת. IRR שואל מהו שיעור ההיוון שבו הערך המוסף מתאפס.

בפרויקט השקעה רגיל שני הקריטריונים בדרך כלל מסכימים על קבלה או דחייה. אולם IRR הוא שיעור יחסי ואילו NPV הוא תוספת ערך כספית. בפרויקטים תחליפיים, בגדלים שונים או בעיתוי שונה, מטרת הפירמה היא למקסם ערך ולכן NPV מכריע.

הגדרות פורמליות

CF₀: תזרים במועד אפס; בהשקעה רגילה הוא שלילי.
CFₜ: התזרים נטו בתום תקופה t.
k: שיעור התשואה החלופי או עלות ההון לתקופה.
NPV: הערך הנוכחי הנקי של כל תזרימי הפרויקט.
IRR: שיעור היוון שמביא את NPV לאפס.
r_cross: שיעור ההיוון שבו לשני פרויקטים תחליפיים יש אותו NPV.

ערך נוכחי נקי

NPV(k) = Σ_t=0ⁿ CFₜ/(1+k)^t

תוצאת NPV	החלטה בפרויקט עצמאי	משמעות
חיובי	לקבל	נוצר ערך מעבר לתשואה הנדרשת.
אפס	אדישות כלכלית	הפרויקט משיג בדיוק את התשואה הנדרשת.
שלילי	לדחות	הפרויקט אינו מכסה את עלות ההון.

שיעור תשואה פנימי

0 = Σ_t=0ⁿ CFₜ/(1+IRR)^t

בפרויקט השקעה רגיל מקבלים כאשר IRR>k. הכלל אינו בטוח בתזרים מימון, שבו מתקבל כסף בתחילה ומשולם בהמשך, או בתזרים שמשנה סימן מספר פעמים ועלול ליצור מספר פתרונות.

פרויקטים תחליפיים

כאשר ניתן לבחור רק פרויקט אחד, מחשבים NPV לכל חלופה באותו שיעור היוון ובוחרים את הגבוה ביותר. שיעור ההיוון שבו שני הפרויקטים שווים הוא IRR של התזרים ההפרשי:

0 = NPV_A−B(r_cross)

שיטת פתרון

בנו תזרים מלא עם סימנים ותאריכים. אל תבחרו קריטריון לפני שזיהיתם את מבנה הסימנים.
קבעו את שיעור התשואה החלופי המתאים לסיכון ולתקופה.
חשבו NPV וקבלו את החלטת הבסיס.
חשבו IRR רק אם הוא נדרש או מוסיף מידע, ובדקו אם התזרים רגיל.
בפרויקטים תחליפיים בחרו לפי NPV. אם הדירוג משתנה עם הריבית, נתחו את התזרים ההפרשי.
בהחלפת נכס קיים, השוו מצב עם החלטה למצב בלעדיה; הפרויקט הרלוונטי הוא ההפרש בלבד.

דוגמת פרויקטים תחליפיים

פרויקט A דורש 100 ומחזיר 80 בכל אחת משתי השנים. פרויקט B דורש 120 ומחזיר 70 בכל אחת משלוש השנים.

שיעור היוון	NPV של A	NPV של B	בחירה
7%	44.64	63.70	B
30%	8.88	7.13	A

בריבית נמוכה התזרים הארוך של B שומר על ערך רב יותר. בריבית גבוהה התשלומים המאוחרים נשחקים יותר, ולכן A מקבל יתרון. בכל שיעור בוחרים לפי NPV באותו שיעור, לא לפי ה־IRR הגבוה לבדו.

דוגמאות כיתה — מן הישיר אל המשולב

1. ההשקעה המרבית כאשר IRR נתון

מקור: תרגילי שת"פ וענ"נ, שאלה 2

פרויקט צפוי להניב 13,000 ש"ח בסוף כל אחת משלוש השנים הקרובות, ו־IRR היעד הוא 10%. ההשקעה המרבית היא הערך הנוכחי של התקבולים בשיעור זה:

I_max = (13,000/0.10)[1−1/(1.10)³] = 32,329.08

תוצאה: השקעה של 32,329.08 ש"ח תיצור NPV אפס; השקעה נמוכה יותר תיצור NPV חיובי.

2. מציאת IRR לפרויקט דו־שנתי

מקור: תרגילי שת"פ וענ"נ, שאלה 3

השקעה של 100,000 ש"ח מניבה 54,000 בסוף שנה 1 ו־52,000 בסוף שנה 2. פותרים את שיעור ההיוון שמאפס את NPV:

0 = −100,000 + 54,000/(1+IRR) + 52,000/(1+IRR)²

הצבה של 4% מחזירה בדיוק את ההשקעה בערך נוכחי:

54,000/1.04 + 52,000/(1.04)² = 100,000

תוצאה: ה־IRR הוא 4%. במחיר הון של 15% הפרויקט נדחה.

3. פרויקטים עצמאיים לעומת פרויקטים תחליפיים

מקור: תרגילי שת"פ וענ"נ, שאלה 1

פרויקט A דורש 1,500 היום ומחזיר 2,000 בשנה 3. פרויקט B דורש 2,000 היום ומחזיר 600 בסוף כל שנה במשך חמש שנים. במחיר הון 8%:

NPV_A = −1,500 + 2,000/(1.08)³ = 87.66 NPV_B = −2,000 + (600/0.08)[1−1/(1.08)⁵] = 395.63 IRR_A = (2,000/1,500)^1/3−1 = 10.06%

תוצאה: אם הפרויקטים עצמאיים מקבלים את שניהם; אם ניתן לבחור רק אחד, בוחרים ב־B משום שה־NPV שלו גבוה יותר.

4. פרסום שמשנה רק את התקבול האחרון

מקור: שאלות חזרה, שאלה 2

ללא פרסום מתקבלים 400,000 ש"ח בכל אחת משלוש השנים. פרסום עולה 500,000 היום, אינו משנה את השנים 1–2, ומעלה את התקבול בשנה 3 ל־1,100,000. לכן התזרים ההפרשי הוא הוצאה של 500,000 היום ותוספת של 700,000 בשנה 3:

NPV_10% = −500,000 + 700,000/(1.10)³ = 25,920.36

שיעור האדישות מתקבל כאשר NPV שווה לאפס:

k_break-even = (700,000/500,000)^1/3−1 = 11.87%

תוצאה: במחיר הון 10% הפרסום כדאי; הוא כדאי כל עוד מחיר ההון נמוך מ־11.87%.

5. החלפת מכונה ותזרים לא סטנדרטי

מקור: תרגילי שת"פ וענ"נ, שאלה 4

המכונה הישנה שווה היום אפס ומניבה 6,000 בשנה 1 ו־28,000 בשנה 2. מכונה חדשה עולה 2,000 ומניבה 20,000 בשנה 1 ו־4,000 בשנה 2. התזרים ההפרשי של ההחלפה הוא:

מועד	0	1	2
חדש פחות ישן	−2,000	14,000	−24,000

NPV_10% = −2,000 + 14,000/1.10 − 24,000/(1.10)² = −9,107.44

לתזרים יש שני שינויי סימן, ולכן IRR עלול להיות מטעה או להניב יותר משורש אחד. החלטת NPV אינה סובלת מן הבעיה הזו.

תוצאה: אין להחליף את המכונה.

הערות מוכנות למבחן

NPV דורש שיעור היוון חיצוני; IRR מופק מן התזרים עצמו.
IRR גבוה אינו מבטיח תוספת ערך כספית גבוהה יותר.
סמנו את מספר שינויי הסימן בתזרים לפני שימוש בכלל IRR.
בפרויקט החלפה אל תעריכו את המכונה החדשה לבדה; העריכו את השינוי מול המשך המצב הקיים.

שאלות מבחן קשורות