שיעור פתרון
מבחן תשפ"א ב', מועד א', שאלה 3 - קונטרפוזיציה והפרש סימטרי במכפלה קרטזית
שיעורי תאוריה רלוונטיים
נוסח השאלה
תהיינה A,B,C קבוצות. נתונה הטענה: אם A∈P(B\C), אז A∩C=∅.
- נסחו את הקונטרפוזיציה של הטענה.
- הוכיחו את הטענה בכל דרך שהיא.
הוכיחו כי לכל שלוש קבוצות D,E,F מתקיים:
D×(EΔF)=(D×E)Δ(D×F)זיהוי השיטה
בסעיף א מתרגמים שייכות לקבוצת חזקה להכלה ואז בודקים איבר בחיתוך. בסעיף ב עוקבים אחר זוג סדור שרירותי ומתרגמים הפרש סימטרי לדרישה שהשייכות מתקיימת בדיוק באחד משני הצדדים.
פתרון מודרך
א1. ניסוח הקונטרפוזיציה
נוסח הסעיף: נסחו את הקונטרפוזיציה של הטענה: אם A∈P(B\C), אז A∩C=∅.
קונטרפוזיציה של P→Q היא ¬Q→¬P. שלילת המסקנה היא A∩C≠∅, ושלילת ההנחה היא A∉P(B\C). לכן:
A∩C≠∅ → A∉P(B\C)באופן שקול, מאחר ש-A∈P(B\C) פירושו A⊆B\C, אפשר לכתוב את המסקנה גם כ-A⊄B\C.
א2. הוכחת הטענה
נוסח הסעיף: הוכיחו כי אם A∈P(B\C), אז A∩C=∅.
נניח A∈P(B\C). לפי הגדרת קבוצת חזקה:
A⊆B\Cכדי להראות שהחיתוך ריק, נבדוק אם יכול להיות בו איבר. נניח שקיים x∈A∩C. מהגדרת חיתוך מתקיים:
x∈A ∧ x∈Cאבל מן ההכלה A⊆B\C ומהשייכות x∈A נובע x∈B\C. לפי הגדרת הפרש קבוצות:
x∈B ∧ x∉Cקיבלנו בו-זמנית x∈C ו-x∉C, סתירה. לכן אין איבר ב-A∩C, ומכאן A∩C=∅.
ב. מכפלה קרטזית והפרש סימטרי
נוסח הסעיף: הוכיחו כי לכל שלוש קבוצות D,E,F מתקיים D×(EΔF)=(D×E)Δ(D×F).
ניקח זוג סדור שרירותי (d,x). נפתח את השייכות לצד שמאל לפי הגדרת מכפלה קרטזית:
(d,x)∈D×(EΔF) ⇔ d∈D ∧ x∈EΔFהשייכות x∈EΔF אומרת ש-x נמצא בדיוק באחת מן הקבוצות. לכן:
⇔ d∈D ∧ [(x∈E∧x∉F)∨(x∈F∧x∉E)]נפזר את התנאי המשותף d∈D על שני המקרים:
⇔ [(d∈D∧x∈E)∧¬(d∈D∧x∈F)] ∨ [(d∈D∧x∈F)∧¬(d∈D∧x∈E)]כאשר d∉D, הזוג אינו נמצא באף אחת משתי המכפלות; וכאשר d∈D, השלילות למעלה שקולות בדיוק ל-x∉F או ל-x∉E. כעת מחזירים כל תנאי לסימון של מכפלה קרטזית:
⇔ (d,x)∈(D×E)Δ(D×F)קיבלנו שלכל זוג סדור השייכות לשני הצדדים שקולה. לפי עקרון השוויון בין קבוצות:
D×(EΔF)=(D×E)Δ(D×F)תשובה סופית
הקונטרפוזיציה היא A∩C≠∅ → A∉P(B\C).
מן התנאי A⊆B\C נובע שאין איבר של A שנמצא ב-C, ולכן A∩C=∅.
D×(EΔF)=(D×E)Δ(D×F).
המשך במבחן
מבחן תשפ"א ב', מועד א' · שאלה 3
המשך לפי סדר השאלות במבחן.
לשאלה הבאה: שאלה 4 - עוצמות ותכונות יחס