שיעור פתרון

מבחן תשפ"ג ב', מועד א', שאלה 5 - יחס שקילות על הממשיים וחלוקה

שיעורי תאוריה רלוונטיים

נוסח השאלה

תהי A=R. נגדיר יחס R על A כך:

(x,y)∈R ⇔ x-y∈Z
  1. הוכיחו כי R הוא יחס שקילות על A.
  2. חשבו את מחלקת השקילות [0].
  3. חשבו את מחלקת השקילות [1.5].

כתבו את האיברים של יחס השקילות S המוגדר על ידי החלוקה {{1,2},{4,6},{3,5}} של הקבוצה C={1,2,3,4,5,6}.

זיהוי השיטה

פותחים את התנאי x-y∈Z בכל אחת משלוש תכונות יחס השקילות, ובונים את המספר השלם המתאים לזוג המבוקש. מחלקת שקילות מתקבלת מפתרון התנאי x-a∈Z. את היחס מן החלוקה בונים כמכפלה קרטזית של כל בלוק עם עצמו.

פתרון מודרך

א1. הוכחת יחס שקילות

נוסח הסעיף: הוכיחו כי היחס (x,y)∈R ⇔ x-y∈Z הוא יחס שקילות על A=R.

רפלקסיביות

יהי x∈R שרירותי. צריך להראות (x,x)∈R. לפי הגדרת היחס בודקים את ההפרש:

x-x=0∈Z

לכן (x,x)∈R לכל x∈R, והיחס רפלקסיבי.

סימטריות

יהיו x,y∈R שרירותיים, ונניח (x,y)∈R. לפי ההגדרה קיים k∈Z כך ש:

x-y=k

נבחן את ההפרש בסדר ההפוך:

y-x=-(x-y)=-k

מכיוון ש-k∈Z, גם -k∈Z. לכן y-x∈Z, ומכאן (y,x)∈R. היחס סימטרי.

טרנזיטיביות

יהיו x,y,z∈R שרירותיים, ונניח (x,y)∈R וגם (y,z)∈R. לפי ההגדרה קיימים k,m∈Z כך ש:

x-y=k,   y-z=m

כדי להוכיח ש-(x,z)∈R, צריך לבנות את ההפרש x-z. שני ההפרשים הנתונים נפגשים ב-y, ולכן מחברים אותם; y מתבטל ומשאיר את ההפרש בין הקצוות:

x-z=(x-y)+(y-z)=k+m

מכיוון ש-k,m∈Z, גם k+m∈Z. לכן x-z∈Z, ומכאן (x,z)∈R. היחס טרנזיטיבי.

היחס רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי, ולכן הוא יחס שקילות על R.

א2. מחלקת השקילות [0]

נוסח הסעיף: חשבו את מחלקת השקילות [0].

נחשב מן ההגדרה:

x∈[0] ⇔ (x,0)∈R ⇔ x-0∈Z ⇔ x∈Z

לכן מחלקת 0 היא קבוצת כל המספרים השלמים:

[0]=Z

א3. מחלקת השקילות [1.5]

נוסח הסעיף: חשבו את מחלקת השקילות [1.5].

גם כאן מתחילים מתנאי השייכות:

x∈[1.5] ⇔ x-1.5∈Z

כלומר קיים k∈Z כך ש-x-1.5=k. נבודד את x:

x=1.5+k

לכן:

[1.5]={1.5+k | k∈Z}={...,-0.5,0.5,1.5,2.5,3.5,...}

ב. בניית היחס מן החלוקה

נוסח הסעיף: כתבו את האיברים של יחס השקילות S המוגדר על ידי החלוקה {{1,2},{4,6},{3,5}} של C={1,2,3,4,5,6}.

נסמן B₁={1,2}, B₂={4,6}, B₃={3,5}. שני איברים קשורים בדיוק כאשר הם נמצאים באותו בלוק, ולכן:

S=(B₁×B₁)∪(B₂×B₂)∪(B₃×B₃)

בבלוק הראשון, רכיב ראשון 1 יוצר את (1,1),(1,2), ורכיב ראשון 2 יוצר את (2,1),(2,2):

B₁×B₁={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}

באותה דרך:

B₂×B₂={(4,4),(4,6),(6,4),(6,6)} B₃×B₃={(3,3),(3,5),(5,3),(5,5)}

כל מכפלה כוללת זוגות עצמיים ואת שני סדרי הזוג. אין זוגות כמו (1,4), מפני שרכיביהם נמצאים בבלוקים שונים. איחוד שלוש המכפלות נותן:

S={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(4,4),(4,6),(6,4),(6,6),(3,3),(3,5),(5,3),(5,5)}

כל בלוק בגודל 2 תורם 22=4 זוגות. יש שלושה בלוקים, ולכן ברשימה צריכים להיות 3·4=12 זוגות, כפי שהתקבל.

תשובה סופית

R הוא יחס שקילות על R.

[0]=Z, ו-[1.5]={1.5+k | k∈Z}.

S={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(4,4),(4,6),(6,4),(6,6),(3,3),(3,5),(5,3),(5,5)}.

המשך במבחן

מבחן תשפ"ג ב', מועד א' · שאלה 5

המשך לפי סדר השאלות במבחן.

לשאלה הבאה: שאלה 6 - יחסי סדר והפרש סימטרי