בחינה 2, חלק 2 · שיעור פתרון
שאלה 1: פענוח פלט LINDO וניתוח רגישות
שיעור התאוריה
נוסח השאלה
מאפייה מייצרת מוצרים שונים ומתמחה בשני סוגי לחם דגנים:
| סוג לחם | קמח ליחידה | דגנים ליחידה | שעות עבודה | מחיר מכירה |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0.5 ק"ג | 0.1 ק"ג | 1 | 13.4 ₪ |
| 2 | 0.7 ק"ג | 0.09 ק"ג | 1.25 | 12.5 ₪ |
יש הזמנות שבועיות ל-15 לחמים מסוג 1 ול-20 לחמים מסוג 2, וכל כמות נוספת תימכר. לרשות המאפייה 25 ק"ג קמח, 5 ק"ג דגנים ו-70 שעות עבודה. ניתן להקצות קמח נוסף בעלות 7 ₪ לק"ג, ולקנות עד 3 ק"ג דגנים נוספים בעלות 14.2 ₪ לק"ג.
פלט המחשב מבוסס על המודל:
- א. הסבירו את משתני ההחלטה, את פונקציית המטרה ואת משמעות כל אילוץ.
- ב. מה הקשר בין הערך הדואלי של אילוץ 1 לבין המקדם של F בפונקציית המטרה?
- ג. חשבו את הערכים החסרים בדוח: העלייה המותרת והירידה המותרת של אילוץ 5.
- ד. ניתן להקצות 10 שעות עבודה נוספות בעלות 6 ₪ לשעה. האם כדאי?
- ה. ספק מציע למאפייה 1 ק"ג דגנים במחיר 20 ₪. האם כדאי לרכוש את כל הכמות?
הנתונים הדרושים מתוך הדוח
שורה 1 בדוח היא פונקציית המטרה, ולכן שורות 2-7 מתאימות לאילוצים 1-6.
| משתנה | ערך אופטימלי | עלות מצומצמת |
|---|---|---|
| x₁ | 45 | 0 |
| x₂ | 20 | 0 |
| F | 11.5 | 0 |
| D | 1.3 | 0 |
ערך פונקציית המטרה הוא Z*=754.04.
| אילוץ במודל | שורה בדוח | מרווח או עודף | ערך דואלי |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 0 | 7 |
| 2 | 3 | 0 | 14.2 |
| 3 | 4 | 0 | 8.48 |
| 4 | 5 | 1.7 | 0 |
| 5 | 6 | 30 | 0 |
| 6 | 7 | 0 | -4.278 |
בטווחי אגף ימין מופיעים, בין היתר: לאילוץ 2 עלייה מותרת 1.3; לאילוץ 3 עלייה מותרת 17; ולאילוץ 5 הערכים חסרים.
זיהוי השיטה
בסעיף א מתרגמים את המודל בחזרה לסיפור. בשאר הסעיפים משתמשים בערכים הדואליים רק לאחר שבודקים שהשינוי המבוקש נמצא בתחום ההתקפות.
- 1. משמעותמשתנים, מטרה ואילוצים
- 2. דוחשורות, מרווחים וערכים דואליים
- 3. החלטהתחום תקפות ותועלת נטו
פתרון מודרך
א משמעות המודל
נוסח הסעיף: הסבירו את משתני ההחלטה, את פונקציית המטרה ואת משמעות כל אילוץ.
הרעיון: קוראים כל מקדם יחד עם היחידות שלו. מקדם במטרה הוא הכנסה או עלות ליחידה; מקדם באילוץ הוא שימוש במשאב ליחידה.
- x₁
- מספר הלחמים מסוג 1 שהמאפייה מייצרת ומוכרת בשבוע.
- x₂
- מספר הלחמים מסוג 2 שהמאפייה מייצרת ומוכרת בשבוע.
- F
- מספר קילוגרמי הקמח הנוספים שמוקצים לייצור הלחמים בעלות 7 ₪ לק"ג.
- D
- מספר קילוגרמי הדגנים הנוספים שנרכשים בעלות 14.2 ₪ לק"ג.
- Z
- הרווח השבועי ממכירת שני סוגי הלחם לאחר הפחתת עלויות הקמח והדגנים הנוספים.
פונקציית המטרה:
שני האיברים הראשונים הם הכנסות ממכירה; שני האיברים השליליים הם עלויות רכישת משאבים נוספים.
| אילוץ | משמעות |
|---|---|
| 0.5x₁ + 0.7x₂ - F ≤ 25 | מגבלת קמח. F מוסיף קמח זמין ולכן מופיע בחיסור באגף שמאל. |
| 0.1x₁ + 0.09x₂ - D ≤ 5 | מגבלת דגנים. D מוסיף דגנים זמינים. |
| x₁ + 1.25x₂ ≤ 70 | מגבלת שעות העבודה השבועיות. |
| D ≤ 3 | אפשר לרכוש לכל היותר 3 ק"ג דגנים נוספים. |
| x₁ ≥ 15 | יש לספק לפחות 15 לחמים מסוג 1. |
| x₂ ≥ 20 | יש לספק לפחות 20 לחמים מסוג 2. |
בפתרון האופטימלי מייצרים 45 לחמים מסוג 1 ו-20 מסוג 2, מקצים 11.5 ק"ג קמח נוספים ורוכשים 1.3 ק"ג דגנים נוספים.
תוצאת הסעיף: המודל ממקסם רווח שבועי תחת מגבלות קמח, דגנים, עבודה, רכישה מינימלית ומקסימלית והזמנות מינימום.
ב הקשר בין אילוץ הקמח למקדם F
נוסח הסעיף: מה הקשר בין הערך הדואלי של אילוץ 1 לבין המקדם של F בפונקציית המטרה?
הרעיון: כל יחידה של F מרפה את אילוץ הקמח ביחידה אחת, אך עולה 7 ₪. לכן משווים בין הערך השולי של ק"ג קמח לבין עלותו.
אילוץ הקמח הוא:
הגדלת F בק"ג אחד שקולה להגדלת כמות הקמח הזמינה בק"ג אחד. לפי הדוח, הערך הדואלי של האילוץ הוא 7 ₪ לק"ג. בפונקציית המטרה מופיע -7F, כלומר עלות של 7 ₪ לכל ק"ג נוסף.
לכן המקדם של F הוא הנגדי של הערך הדואלי: הערך הדואלי חיובי מפני שקמח נוסף מועיל, והמקדם של F שלילי מפני שרכישתו היא עלות.
תוצאת הסעיף: ערך הקמח השולי והעלות שלו שווים ל-7 ₪ לק"ג; המאפייה נמצאת בנקודת איזון שולית ביחס לקמח נוסף.
ג השלמת הטווח של אילוץ 5
נוסח הסעיף: חשבו את העלייה המותרת AI₅ ואת הירידה המותרת AD₅ של אגף ימין באילוץ 5.
הרעיון: אילוץ 5 הוא דרישת מינימום שאינה פעילה. אפשר להעלות את המינימום עד הערך שמיוצר בפועל; הורדת המינימום רק מרפה את האילוץ.
אילוץ 5 הוא x₁ ≥ 15, ובפתרון האופטימלי x₁=45. לכן העודף הוא:
אפשר להעלות את אגף ימין מ-15 עד 45, כלומר ב-30 יחידות, לפני שהאילוץ נעשה פעיל. לעומת זאת, אפשר להקטין את דרישת המינימום ללא גבול והיא רק תתרחק מהפתרון הנוכחי.
תוצאת הסעיף: העלייה המותרת היא 30 והירידה המותרת היא אינסוף.
ד רכישת 10 שעות עבודה נוספות
נוסח הסעיף: ניתן להקצות 10 שעות עבודה נוספות בעלות 6 ₪ לשעה. האם כדאי?
הרעיון: קודם בודקים ש-10 שעות נמצאות בעלייה המותרת של אילוץ העבודה; אחר כך משווים את הערך הדואלי לעלות השעה.
אילוץ העבודה הוא אילוץ 3. העלייה המותרת שלו היא 17 שעות, ולכן תוספת של 10 שעות נמצאת בתחום ההתקפות:
הערך הדואלי הוא 8.48 ₪ לשעה, והעלות היא 6 ₪ לשעה:
תוצאת הסעיף: כדאי להקצות את 10 השעות. הרווח השבועי נטו יגדל ב-24.8 ₪.
ה הצעת דגנים במחיר 20 ₪ לק"ג
נוסח הסעיף: ספק מציע למאפייה 1 ק"ג דגנים במחיר 20 ₪. האם כדאי לרכוש את כל הכמות?
הרעיון: בודקים שהקילוגרם הנוסף נמצא בתחום ההתקפות של אילוץ הדגנים, ואז משווים את ערכו השולי למחיר הספק.
אילוץ הדגנים הוא אילוץ 2. העלייה המותרת באגף ימין היא 1.3 ק"ג, ולכן תוספת של 1 ק"ג נמצאת בתחום:
הערך הדואלי של ק"ג דגנים הוא 14.2 ₪, אך מחיר הספק הוא 20 ₪:
הדוח גם מראה שהמאפייה משתמשת רק ב-1.3 ק"ג מתוך האפשרות לרכוש עד 3 ק"ג במחיר 14.2 ₪ לק"ג, ולכן בוודאי אין הצדקה לשלם מחיר גבוה יותר.
תוצאת הסעיף: לא כדאי לרכוש את הקילוגרם במחיר 20 ₪; הרווח היה קטן ב-5.8 ₪.
תשובה סופית
- א. x₁,x₂ הם כמויות הלחם, F,D הם קמח ודגנים נוספים; המודל ממקסם הכנסות פחות עלויות תחת ששת האילוצים.
- ב. הערך הדואלי של קמח הוא 7 ₪ לק"ג, בדיוק עלות F; לכן התועלת השולית נטו היא אפס.
- ג. AI₅=30 ו-AD₅=∞.
- ד. כדאי להוסיף 10 שעות; הרווח נטו גדל ב-24.8 ₪.
- ה. לא כדאי לקנות ק"ג דגנים ב-20 ₪; ערכו השולי הוא רק 14.2 ₪.
המשך במבחן
בחינה 2, חלק 2 · שאלה 1
זהו פתרון השאלה האחרון במבחן.
חזרה לרשימת המבחנים