שיעור תאוריה

הסתברות קלאסית ועץ הסתברויות

הבנת חוקי ההסתברות הבסיסיים — חוק הכפל, חוק החיבור, הסתברות מותנית — ושימוש בעץ הסתברויות.

איך מזהים שהנושא מתאים

השאלה עוסקת בשליפת כדורים, בחירת אנשים, הטלת קוביות, או בחירה מקרית כלשהי.
מופיעים מושגים כמו "הסתברות ש...", "בלי החזרה", "עם החזרה", או "ידוע ש...".

אינטואיציה ומושגי יסוד

הסתברות מודדת את הסיכוי להתרחשותו של אירוע. ערכה נע בין 0 (בלתי אפשרי) ל-1 (ודאי). הסתברות קלאסית מחלקת מספר תוצאות רצויות במספר התוצאות הכולל.

הגדרות ונוסחאות פורמליות

נושא	נוסחה / דרך חישוב	משמעות
הסתברות קלאסית	P(A) = מספר תוצאות רצויותמספר התוצאות הכולל	הסיכוי שמאורע A יתרחש בבחירה אקראית שוויונית.
חוק הכפל ("וגם")	P(A ∩ B) = P(A) · P(B\|A)	כופלים לאורך ענף בעץ לפי ההסתברות המעודכנת. עבור מאורעות בלתי תלויים: P(A)·P(B).
חוק החיבור — מאורעות זרים	P(A ∪ B) = P(A) + P(B)	רק כשמאורעות A ו-B אינם יכולים להתרחש יחד, כלומר P(A∩B)=0.
חוק החיבור — מקרה כללי	P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)	כשמאורעות עשויים להתרחש יחד — מחסירים את החפיפה כדי לא לספור פעמיים.
הסתברות מותנית	P(A\|B) = P(A ∩ B)P(B)	הסתברות של A בהינתן ש-B כבר התרחש — "צמצום מרחב המדגם" ל-B בלבד.
הסתברות משלימה	P(A') = 1 − P(A)	ההסתברות ש-A לא יתרחש. שימושי מאוד עבור "לפחות אחד".

שימו לב — חוק החיבור!

הנוסחה P(A∪B) = P(A) + P(B) נכונה רק כשמאורעות A ו-B הם זרים (אינם יכולים להתרחש יחד). במקרה הכללי חובה להחסיר את P(A∩B), אחרת אתם סופרים את החפיפה פעמיים!

שיטת פתרון: בניית עץ הסתברויות

ציור העץ: ציירו נקודת התחלה. מתוכה הוציאו ענפים לכל אפשרות בשלב הראשון (כדור אדום / כחול / ירוק).
רישום הסתברויות על הענפים: שימו לב להבדל:
- עם החזרה: ההסתברויות בשלב השני זהות לשלב הראשון (מחזירים את האובייקט לפני שמושכים שוב).
- בלי החזרה: המכנה יורד ב-1, והמונה יורד ב-1 עבור הצבע שנשלף. כלומר, ההסתברויות בשלב השני תלויות בתוצאת השלב הראשון.
שלבים נוספים: מכל קצה ענף בשלב הראשון, הוציאו ענפים לשלב השני (וכן הלאה לפי מספר השלבים בשאלה).
חישוב מאורע מסוים: זהו את כל המסלולים המתאימים לדרישות השאלה. לאורך כל מסלול — כפלו את ההסתברויות. בין מסלולים שונים — חברו.

הערות מוכנות למבחן