שיעור תאוריה

מרובעים ודמיון משולשים

הכרת תכונות המלבן, קריטריוני חפיפה ודמיון, כתיבת הוכחה בטבלת טענה-נימוק, והקשר בין יחס הדמיון ליחס השטחים.

איך מזהים שהנושא מתאים

השאלה מציגה שרטוט ללא מערכת צירים עם צורות הנדסיות (משולשים, מלבן, מקבילית).
מבקשים להוכיח כי משולשים הם דומים או חופפים — כלומר, לכתוב הוכחה פורמלית.
מבקשים לחשב צלעות או שטחים מתוך נתונים פרופורציונליים.

כתיבת הוכחה — טבלת טענה-נימוק

בבגרות, הוכחה גאומטרית נכתבת בפורמט טבלת טענה-נימוק (claim-reason table). בכל שורה יש טענה (מה שאנחנו אומרים) ולידה נימוק (למה זה נכון — משפט, הגדרה, או נתון).

תבנית — הוכחת דמיון (ז.ז.)

#	טענה	נימוק
1	∠ABC = ∠DEF	זוויות מתחלפות — ישרים מקבילים חתוכים ע"י ישר שלישי (צורת Z).
2	∠BCA = ∠EFD	זוויות קודקודיות — נוצרות בחיתוך שני ישרים (צורת X).
3	ΔABC ∼ ΔDEF	דמיון ז.ז. — שתי זוויות שוות בהתאמה.

כללים לכתיבת ההוכחה

כל טענה חייבת להיות מלווה בנימוק. לא מספיק לכתוב רק "ידוע" — פרטו מאיפה זה ידוע.
הנתונים מהשרטוט מצוינים כ-"נתון" בנימוק.
כתבו את מסקנת הדמיון/חפיפה בשורה האחרונה בלבד. אל תכתבו אותה כנימוק לשורה אחרת.
הקפידו על סדר הקודקודים: אם זווית A שווה ל-D, אז A ו-D חייבות להיות באותו מקום בסימון ΔABC∼ΔDEF.

תכונות מרובעים חשובות

מלבן

המלבן הוא מקבילית שבה כל הזוויות ישרות (90°). מכאן נגזרות תכונות חשובות:

הצלעות הנגדיות מקבילות ושוות באורכן.
האלכסונים שווים זה לזה וחוצים זה את זה (אמצע כל אלכסון הוא אותה נקודה).
כל זווית בין צלעות שכנות שווה 90°.
תכונת ההקבלה מאפשרת למצוא זוויות מתחלפות ומתאימות בעת העברת ישר חותך.

מקבילית כללית

צלעות נגדיות מקבילות ושוות.
האלכסונים חוצים זה את זה (אך אינם בהכרח שווים).
זוויות נגדיות שוות, וסכום זוויות סמוכות = 180°.

קריטריוני חפיפה ודמיון

מעגל חוסם (במשולש ישר זווית)

לחישוב רדיוס מעגל חוסם למשולש ישר זווית (היתר = קוטר = 2R) — ראו את שיעור תאוריה: טריגונומטריה.

סוג	שם הקריטריון	תנאי מספיק	מתי משתמשים
חפיפה (≅)	צ.צ.צ	AB=DE, BC=EF, AC=DF	כשנתונים שלושת הצלעות.
	צ.ז.צ	AB=DE, ∠B=∠E, BC=EF	כשנתונות שתי צלעות והזווית הכלואה ביניהן.
	ז.צ.ז	∠A=∠D, AB=DE, ∠B=∠E	כשנתונות שתי זוויות וצלע ביניהן.
	צ.ז.צ ישרת זווית	יתר + ניצב שווים	רק במשולשים ישרי זווית: יתר שווה + ניצב אחד שווה.
דמיון (~)	ז.ז. (הנפוץ ביותר!)	∠A=∠D, ∠B=∠E → ΔABC ∼ ΔDEF	הדרך השכיחה ביותר בבגרות. מספיק שתי זוויות שוות.
דמיון (~)	צ.צ.צ (יחסים)	ABDE = BCEF = ACDF	כשנתונים שלושת היחסים שווים ואין מידע על זוויות.

זוויות שעוזרות למצוא שוויון

שם הזווית	מתי נוצרת	מה מסיקים
זוויות מתחלפות	ישרים מקבילים חתוכים ע"י ישר שלישי (צורת Z)	הזוויות שוות זו לזו.
זוויות מתאימות	ישרים מקבילים חתוכים ע"י ישר שלישי (צורת F)	הזוויות שוות זו לזו.
זוויות קודקודיות	שני ישרים נחתכים (צורת X)	הזוויות שמול הקודקוד שוות.
זווית משותפת	אותה זווית שייכת לשני משולשים	הזווית שווה לעצמה לפי תכונת הרפלקסיביות, ויש לציין זאת בהוכחה.

יחס דמיון, צלעות ושטחים

גודל	נוסחה	הסבר
יחס הדמיון (k)	ABDE = BCEF = ACDF = k	לאחר שהוכח דמיון, כל הצלעות המתאימות מקיימות את אותו יחס k.
יחס השטחים	S_ΔABCS_ΔDEF = k²	יחס השטחים = ריבוע יחס הדמיון. שים לב: לא k, אלא k²!

דרך פתרון: מציאת דמיון משולשים

סימון הנתונים בשרטוט: סמנו את כל מה שנתון — צלעות שוות, זוויות ישרות, ישרים מקבילים. סמנו גם זוויות שניתן להסיק מיד (כמו זוויות ישרות במלבן) במשתנה כמו α.
זיהוי משולשים רלוונטיים: חפשו בשרטוט משולשים המכילים את הצלעות המבוקשות, או "צורת פרפר" (שני משולשים שחולקים זווית קודקודית בין-ביניהם).
מציאת שתי זוויות שוות (לרוב ז.ז.): השתמשו בזוויות מתחלפות (מקביליות), קודקודיות (חיתוך), ומשותפות. לרוב מספיק שתי זוויות.
כתיבת ההוכחה בטבלה: רשמו את הטענות והנימוקים בסדר לוגי. סיימו בשורת המסקנה עם שם הקריטריון.
שימוש בדמיון: לאחר ההוכחה, רשמו את פרופורציית הצלעות בהתאם לסדר הקודקודים שהגדרתם. השתמשו בכפל בהצלבה לחישוב נעלמים.

הערות מוכנות למבחן

סדר הקודקודים: הקפידו מאוד! אם זווית A שווה ל-D, כתבו ΔABC∼ΔDEF — לא ΔABC∼ΔDFE. טעות בסדר = טעות בכל יחסי הצלעות.
יחס שטחים = k² לא k: טעות הכי נפוצה! בשאלות על שטחים — העלו את יחס הדמיון בריבוע.
כתבו "נתון" כנימוק: כל פעם שאתם משתמשים בנתון מהשרטוט — כתבו "נתון" בנימוק. לא לוותר על שורה זו!
זווית משותפת: אם שני משולשים חולקים אותה זווית, כתבו בטבלה "זווית משותפת" — זה נחשב לנימוק חוקי.

שאלות מבחן קשורות

תרגול נוסף