קיץ תשפ"ג 2023, מועד א' (35481) · שיעור פתרון

שאלה 1: בעיית תנועה

בניית טבלאות תנועה, פתרון מערכת משוואות של מהירות, זמן ודרך, וחישובי זמני פגישה.

שיעורי תאוריה רלוונטיים

בעיות תנועה

נוסח השאלה

1. ביום ראשון יצאו דני ואריאל כל אחד מביתו והתחילו לצעוד זה לקראת זה.
דני צעד במהירות קבועה של 6 קמ"ש, ואריאל צעד במהירות קבועה של 8 קמ"ש.
דני יצא מביתו בשעה 8:00 בבוקר, ואריאל יצא מביתו בשעה 8:30 בבוקר.
הם נפגשו באמצע הדרך שבין הבתים שלהם.

א. מצאו את המרחק בין הבית של דני ובין הבית של אריאל.
ב. מצאו באיזו שעה נפגשו דני ואריאל.

ביום שני יצאו דני ואריאל כל אחד מביתו באותו הזמן והתחילו לצעוד זה לקראת זה.
דני צעד במהירות קבועה, השונה מן המהירות שבה צעד ביום ראשון,
ואריאל צעד באותה מהירות קבועה שבה צעד ביום ראשון.
דני הגיע לבית של אריאל 12 דקות אחרי שאריאל הגיע לבית של דני.

ג. מצאו את המהירות שבה צעד דני ביום שני.
ד. כמה זמן עבר מן הרגע שבו דני ואריאל יצאו לדרך ביום שני ועד שהמרחק ביניהם היה 5.4 ק"מ (לפני שנפגשו)?

זיהוי השיטה

מדובר בבעיית תנועה קלאסית עם שני גופים. נשתמש בטבלת מהירות-זמן-דרך ובנוסחת התנועה S = V · t כדי לארגן את הנתונים ולבנות משוואות. הבעיה מחולקת לשני ימים.

פתרון מודרך

א,ב המרחק וזמן המפגש ביום הראשון

נוסח הסעיף: א. מצאו את המרחק בין הבית של דני ובין הבית של אריאל. ב. מצאו באיזו שעה נפגשו דני ואריאל.

הרעיון: מביעים את הזמן של כל אחד ומנצלים את הנתון שהם נפגשו בדיוק באמצע הדרך כדי להשוות בין הדרכים שעברו.

נתונים ביום ראשון

V_דני6 קמ"ש.

V_אריאל8 קמ"ש.

זמן יציאהדני ב-8:00, אריאל ב-8:30 (אריאל יצא חצי שעה אחרי דני).

נקודת המפגשבאמצע הדרך - כלומר, כל אחד מהם עבר בדיוק מחצית מהדרך הכוללת, ולכן הדרכים שלהם שוות.

נגדיר את t כזמן ההליכה של דני בשעות עד נקודת המפגש. כיוון שאריאל יצא חצי שעה מאוחר יותר, זמן ההליכה שלו הוא t - 0.5.

הולך רגל	מהירות (V)	זמן (t)	דרך (S)
דני	6	t	6t
אריאל	8	t - 0.5	8(t - 0.5)

נשווה בין הביטויים לדרך, מכיוון שהם נפגשו באמצע הדרך:

6t = 8(t - 0.5)

השוואת הדרכים שכל אחד עבר עד המפגש באמצע הדרך.

6t = 8t - 4

פתיחת סוגריים.

2t = 4

העברת אגפים וכינוס.

t = 2

חלוקה ב-2 לקבלת זמן ההליכה של דני בשעות.

זמן ההליכה של דני הוא שעתיים. מכיוון שיצא בשעה 8:00, נוכל למצוא את שעת המפגש ואת המרחק:

8:00 + 2 = 10:00

שעת המפגש.

S_דני = 6 · 2 = 12

הצבת t לדרך של דני. זוהי מחצית הדרך הכוללת.

S_כולל = 12 · 2 = 24

המרחק הכולל בין הבתים.

תוצאת הסעיף: א. המרחק הוא 24 ק"מ. ב. הם נפגשו בשעה 10:00.

ג המהירות של דני ביום שני

נוסח הסעיף: מצאו את המהירות שבה צעד דני ביום שני.

הרעיון: משתמשים במרחק שמצאנו כדי לחשב את זמן ההגעה של אריאל, ואז מוסיפים 12 דקות כדי למצוא את הזמן של דני ואת המהירות שלו.

נתונים ביום שני

S_כולל24 ק"מ (מצאנו בסעיף א).

V_אריאל8 קמ"ש.

זמן הגעהדני הגיע 12 דקות (0.2 שעות) אחרי אריאל.

t_אריאל = 24 / 8 = 3

חישוב הזמן שלקח לאריאל לעבור את כל הדרך.

t_דני = 3 + 0.2 = 3.2

דני הגיע 0.2 שעות אחרי אריאל.

V_{דני, ביום שני} = 24 / 3.2 = 7.5

מהירות דני ביום שני שווה למרחק חלקי הזמן שלו.

תוצאת הסעיף: המהירות של דני ביום שני היא 7.5 קמ"ש.

ד הזמן עד למרחק של 5.4 ק"מ ביניהם

נוסח הסעיף: כמה זמן עבר מן הרגע שבו דני ואריאל יצאו לדרך ביום שני ועד שהמרחק ביניהם היה 5.4 ק"מ (לפני שנפגשו)?

הרעיון: מחשבים את המרחק המשותף ששניהם עברו עד לאותו רגע, ומחלקים בסכום המהירויות (מהירות ההתקרבות המשותפת).

V_משותפת = 7.5 + 8 = 15.5

סכום המהירויות של דני ואריאל.

S_משותף = 24 - 5.4 = 18.6

המרחק ששניהם עברו ביחד שווה למרחק הכולל פחות המרחק שנותר ביניהם.

t = 18.6 / 15.5 = 1.2

הזמן הוא המרחק המשותף חלקי המהירות המשותפת.

תוצאת הסעיף: הזמן שעבר הוא 1.2 שעות (שעה ו-12 דקות).

תשובה סופית

א. 24 ק"מ.
ב. שעה 10:00.
ג. 7.5 קמ"ש.
ד. 1.2 שעות (או שעה ו-12 דקות).

המשך במבחן

קיץ תשפ"ג 2023, מועד א', שאלון 35481 (4 יח"ל) · שאלה 1

המשך לפי סדר השאלות במבחן.

לשאלה הבאה: שאלה 2 - גאומטריה אנליטית בדלתון